Przyspieszenie

Podobnie jak prędkość, tak i przyspieszenie jest nam dobrze znane z doświadczeń codziennych. Na przykład, możemy wywołać przyspieszenie roweru, naciskając mocniej pedały. Im mocniej naciśniemy pedały, tym większe wywołamy przyspieszenie. Oczywiście, w czasie przyspieszania prędkość się zmienia. Naciskając hamulec, również wywołujemy zmianę prędkości, tylko że w tym przypadku prędkość maleje – występuje zmniejszenie wartości prędkości. Takie przyspieszenie, które powoduje malenie prędkości, nazywa się opóźnieniem.

Zawsze wtedy, gdy prędkość się zmienia, musi występować przyspieszenie. Im większa jest zmiana prędkości w określonym przedziale czasowym, tym większa jest wartość przyspieszenia.

To ostatnie stwierdzenie pozwala nam na ilościowe zdefiniowanie przyspieszenia. Jeżeli w pewnym momencie prędkość chwilowa punktu materialnego wynosiła $v_0$, a po upływie czasu $\Delta t$ wyniosła $v$, to przyrost wartości prędkości $\Delta v=v-v_0$ dokonał się w czasie $\Delta t$. Zatem średnio na jednostkę czasu przyrost prędkości wyniósł:

Wzór ten definiuje wartość przyspieszenia średniego w przedziale czasu $\Delta t$.

Jednostką przyspieszenia jest metr na sekundę do kwadratu $\text{(}1\text{m}/{\text{s}}^2\text{)}$. Jednostka ta wynika ze wzoru (1.11), gdyż przyrost prędkości $\Delta v$ wyraża się w metrach na sekundę, a czas $\Delta t$ w sekundach.

Jeżeli przyspieszenie zmienia się w czasie, to dla każdego $\Delta t$ można obliczyć wielkość zwaną przyspieszeniem chwilowym. Przyspieszenie średnie mierzone w bardzo małym przedziale czasu $\Delta t$ będzie zbliżone do prawdziwej wartości przyspieszenia chwilowego.

Równania prędkości i położenia w ruchu jednostajnie przyspieszonym

Jeżeli ciało porusza się z przyspieszeniem o stałej wartości:

a wartość prędkości w tym ruchu zwiększa się w miarę upływu czasu, to ruch taki nazywamy ruchem jednostajnie przyspieszonym. W tym przypadku przyspieszenie chwilowe jest zawsze równe przyspieszeniu średniemu. Zatem ze wzoru (1.12) mamy:

Uwaga do wzoru (1.13): W ruchu prostoliniowym wzory wektorowe można pominąć. Odgrywają one jednak ważną rolę w przypadku ruchu krzywoliniowego.

We wzorze (1.13) przyrost prędkości $\Delta v=v-v_0$ następuje w czasie $\Delta t=t-t_0$. Jeżeli dla wygody za chwilę początkową przyjmiemy 0 (tj. $t_0=0$), to przyrost czasu $\Delta t$ będzie identyczny z $t$, a wtedy wzór (1.13) przyjmie postać:

Stąd po prostym przekształceniu otrzymamy wzór:

Jest to zależność wartości prędkości ciała od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym. Jej interpretacja jest niezwykle prosta i jasna: prędkość, jaką uzyska ciało po czasie $t$, jest równa prędkości początkowej powiększonej o przyrost prędkości, jaki nastąpił w czasie trwania ruchu ( $a$ oznacza przyrost prędkości w ciągu 1 s, zaś $at$ – w ciągu czasu $t$).

Zależność prędkości od czasu we wzorze (1.15) ma charakter liniowy, zatem jej wykres (il. 1.14) jest prostą o nachyleniu do osi czasu tym większym, im większe jest przyspieszenie. Wzór (1.15) wskazuje na to, że współczynnik kierunkowy prostej będącej wykresem prędkości ma wartość równą $a$.

Zastanówmy się, czy z wykresu zależności prędkości od czasu można odczytać, jaką drogę przebywa ciało w czasie $t$. Przypomnijmy sobie, że w przypadku ruchu jednostajnego, gdy prędkość była stała, droga była wyrażona przez pole powierzchni pod wykresem zależności prędkości od czasu (il. 1.12). Sformułowaliśmy wtedy wniosek ogólny, dotyczący dowolnego ruchu. Obecnie wykażemy, że wniosek ten jest słuszny w przypadku ruchu jednostajnie przyspieszonego. Pole powierzchni pod wykresem prędkości podzielimy na wąskie paski o szerokości $\Delta t$ (jeden z tych pasków jest widoczny na il. 1.14).

Jeżeli przedział czasu $\Delta t$ uczynimy dostatecznie małym, to zmiana prędkości w tym przedziale będzie odpowiednio mała. Oznacza to, że prędkość będzie można traktować w odpowiednim przybliżeniu jako stałą. Wobec tego pole powierzchni tego wąskiego paska będzie oznaczać drogę przebytą przez ciało w czasie $\Delta t$.

Suma tych wszystkich pól, wzięta po wszystkich przedziałach $\Delta t$ w czasie $t$, jest całkowitą drogą przebytą przez ciało w czasie $t$. Rozumowanie powyższe jest również prawdziwe w ogólnym przypadku, nawet gdy mamy do czynienia z ruchem o zmiennym przyspieszeniu. Zatem pole powierzchni pod wykresem prędkości o zmiennym przyspieszeniu, jak na il. 1.15, jest równe drodze przebytej przez ciało w czasie $t$.

Dla ruchu jednostajnie przyspieszonego pole powierzchni na il. 1.14 jest polem trapezu o podstawach $v_0$ i $v$ oraz o wysokości równej $t$, czyli:

Wynik (1.16) da się uzasadnić również w inny sposób. Możemy wykorzystać wzór na prędkość średnią (1.3). Wzór ten jest słuszny dla dowolnego ruchu, więc musi być również słuszny dla ruchu jednostajnie przyspieszonego. Przyjmując, że położenie początkowe $s_0=0$, zakładamy, że droga $s$ po czasie $t$ jest równa:

Dla ruchu jednostajnie przyspieszonego prędkość rośnie liniowo, od wartości $v_0$ do wartości $v$. Liniowy wzrost prędkości oznacza, że w jednakowych przedziałach czasu przyrosty prędkości są jednakowe. W związku z tym średnia prędkość zdefiniowana wzorem (1.3) jest równa średniej arytmetycznej prędkości $v_0$ i $v$:

Po podstawieniu tego wyniku do wzoru $s=v_{\text{śr}}t$ otrzymujemy: $s=\frac{v+v_0}{2}t$. Jest to wzór identyczny ze wzorem (1.16)! Następnie po podstawieniu do wzoru (1.16) w miejsce $v$ wyrażenia: $v=v_0+at$ otrzymamy:

Ostatecznie otrzymujemy wzór:

Jeżeli dodamy położenie początkowe $s_0$ (w chwili $t=0$), otrzymamy pełną zależność położenia ciała od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym:

Zależność ta jest kwadratową funkcją czasu, zatem wykres zależności położenia ciała od czasu jest parabolą (il. 1.16).