Najpierw zapoznamy się z pojęciem układu odosobnionego. Aby dokładnie opisać ruch określonego ciała, należy uwzględnić wszystkie działające na nie siły. Jednakże takie zadanie w praktyce jest niewykonalne ze względu na olbrzymią liczbę tych sił. W rzeczywistości każde ciało jest otoczone wielką liczbą ciał bliższych i dalszych. Na szczęście, zwykle jednak tylko skończona niewielka liczba ciał oddziałuje znacząco na rozpatrywane ciało. Wszystkie inne oddziaływania w praktyce można śmiało pominąć, jako że są one bardzo małe. Na przykład, jeżeli kamień spada na Ziemię, to wszystkie inne siły poza siłą przyciągania Ziemi można zaniedbać, mimo że w rzeczywistości na kamień działają również siły przyciągania pochodzące od Księżyca, innych planet i Słońca. Nie uwzględniamy ich, gdyż są one bardzo małe (małe są również w tym przypadku siły oporu powietrza). Dlatego mamy prawo założyć, że na kamień działa tylko Ziemia. Możemy zatem rozpatrywać układ składający się z dwóch ciał – kamienia i Ziemi. Wszystkie pozostałe ciała można traktować jako zewnętrzne w stosunku do tego układu. Siły pochodzące od ciał spoza układu możemy ewentualnie uwzględniać jako poprawki dodawane do podstawowej siły.

Siły, którymi działają na siebie części składowe układu, nazywamy siłami wewnętrznymi. Siły oddziaływania z ciałami spoza układu nazywamy siłami zewnętrznymi. Układ nazywa się odosobnionym (lub izolowanym), jeżeli można zaniedbać siły zewnętrzne. Na przykład, Układ Słoneczny może być traktowany z bardzo dużą dokładnością jako układ odosobniony. Siła wewnętrzna wzajemnego oddziaływania Słońca i Ziemi jest około 800 miliardów razy większa od siły zewnętrznej oddziaływania Ziemi z najbliższą gwiazdą.

W wypadku układów odosobnionych obowiązuje prawo zachowania pędu, które można sformułować w następujący sposób:

Oczywiście, pędy poszczególnych ciał wchodzących w skład danego układu mogą się zmieniać, ale całkowity pęd układu, to znaczy wektorowa suma wszystkich pędów składowych, nie ulega zmianie.

Prawo to można wyprowadzić w sposób ścisły z zasad dynamiki Newtona. My wyprowadzimy je dla przypadku układu odosobnionego składającego się z dwóch ciał: $A$ i $B$. Ciało $B$ działa na ciało $A$ siłą ${\overrightarrow{F}}_{BA}$, a ciało $A$ na ciało $B$ siłą ${\overrightarrow{F}}_{AB}$. Zgodnie z trzecią zasadą Newtona ${\overrightarrow{F}}_{AB}=-{\overrightarrow{F}}_{BA}$, więc:

Obierzmy dwie bliskie chwile $t_1$ i $t_2$. Załóżmy, że w chwili $t_1$ ciało $A$ o masie $m_A$ miało prędkość ${\overrightarrow{v}}_{A_1}$, ciało $B$ o masie $m_B$ – prędkość ${\overrightarrow{v}}_{B_1}$, zaś w chwili $t_2$ ciała miały prędkości odpowiednio ${\overrightarrow{v}}_{A_2}$ i ${\overrightarrow{v}}_{B_2}$. Druga zasada Newtona dla ciała $A$ (w postaci (2.16)) ma formę:

a dla ciała $B$:

Po zsumowaniu stronami równań (2.17) i (2.18) otrzymamy:

Na podstawie wzoru (2.16) lewa strona powyższego równania jest równa zeru. Po uporządkowaniu prawej strony otrzymamy:

Stąd:

Otrzymaliśmy równanie, które można zinterpretować następująco: po lewej stronie mamy sumę pędów ciał $A$ i $B$ w chwili $t_1$, a po prawej stronie – w chwili $t_2$, zatem suma pędów całego układu składającego się z ciał $A$ i $B$ nie zmienia się w czasie. Możemy to zapisać krócej:

lub

W ten sposób, wychodząc z III zasady dynamiki Newtona, wyprowadziliśmy prawo zachowania pędu dla układu składającego się z dwóch ciał. Dla układu składającego się z wielu ciał prawo zachowania pędu wyrażone w postaci matematycznej ma postać:

Przykład 5

Rozważymy zagadnienie tzw. rozpadu dwuciałowego. Na rysunku il. 2.25 przedstawione są dwie kulki $A$ i $B$ o masach $m_A$ i $m_B$ połączone nitką. Między kulkami znajduje się ściśnięta sprężyna, która je rozpycha. Jeśli nitka ulegnie zerwaniu (zostanie przecięta lub przepalona), to kulki oddalą się w przeciwne strony. Na podstawie prawa zachowania pędu oblicz stosunek ich mas, jeżeli znany jest stosunek ich prędkości.

Rozwiązanie: Przed rozpadem obie kulki były w spoczynku, więc ich pędy były równe zeru i całkowity pęd układu obu kulek wynosił zero. Zatem i po rozpadzie pęd układu, który jest równy sumie pędów obu kulek, musi być równy zeru:

$${\overrightarrow{p}}_1+{\overrightarrow{p}}_2=0$$

Ponieważ ${\overrightarrow{p}}_1$ i ${\overrightarrow{p}}_2$ mają przeciwne zwroty, równanie to w zapisie skalarnym ma postać:

$$p_1-p_2=0$$

czyli

$$m_A{v}_1-m_B{v}_2=0$$

( 2.22 )

Kulki uzyskają pędy jednakowe co do wartości, ale o przeciwnych zwrotach. Po przekształceniu równania (2.22) otrzymujemy:

$$\frac{m_A}{m_B}=\frac{v_2}{v_1}$$

( 2.23 )

Omówiony przykład pozwala wnioskować, że prawo zachowania pędu pozwala na porównywanie masy dwóch ciał bez użycia wagi. W mechanice nie stosujemy zwykle tej metody pomiaru ze względu na trudności związane z dokładnym wyznaczeniem prędkości w obecności tarcia. Jednakże korzysta z niej często fizyka cząstek elementarnych i fizyka jądrowa.

Na il. 2.26 przedstawione jest zdjęcie śladów różnych cząstek, otrzymane w specjalnej komorze do badania cząstek elementarnych, tak zwanej komorze Wilsona.

W środku komory widoczna jest cienka płytka zawierająca uran. Na skutek pochłonięcia neutronu jądro uranu rozpadło się na dwa mniejsze jądra rozbiegające się w przeciwne strony. Ich ślady $A$ i $B$ są widoczne na zdjęciu. Prędkość jąder pochodnych (tzn. powstałych w czasie rozpadu) wyznacza się na podstawie znajomości ich zasięgu. Znając stosunek ich prędkości, można wyznaczyć stosunek ich mas.

Układ dwóch kulek na il. 2.25 jest uproszczonym modelem mechanicznym rozpadu jądra na dwa fragmenty. Na il. 2.27 przedstawiono w uproszczonej postaci rozpad jądra na dwa jądra wtórne $A$ i $B$ pod wpływem pochłonięcia neutronu $n$. Części $A$ i $B$ wewnątrz jądra mają jednoimienne ładunki elektryczne – dodatnie. Odpychają się więc one dalekozasięgowymi siłami elektrycznymi (mają jednoimienne ładunki elektryczne – dodatnie). Jądro nie rozpada się jednak, ponieważ mocniejsze są przyciągające siły jądrowe (krótkozasięgowe), które utrzymują części $A$ i $B$ wewnątrz jądra macierzystego (il. 2.27a). Mamy tu sytuację taką, jak w modelu mechanicznym, gdzie ściśnięta sprężyna odpycha kulki, a rolę przyciągających sił jądrowych odgrywa napięcie nitki łączącej obie kulki.

Neutron, wchodząc do jądra, „rozpycha” części $A$ i $B$, oddalając je nieco od siebie. Powoduje to, że krótkozasięgowe siły jądrowe nie są już dłużej w stanie utrzymać części jądra w zwiększonej odległości (odpowiada to przerwaniu nitki łączącej kulki na rys. il. 2.25). Teraz dochodzą do głosu dalekozasięgowe odpychające siły elektryczne (sprężyna zostaje zwolniona). Nadają one fragmentom $A$ i $B$ odpowiednie prędkości zgodne z zasadą zachowania pędu – jądro rozpada się (il. 2.27b).

Przykład 6

Pocisk o masie $m_p=10\text{g}$ jest wystrzelony z prędkością $v_p=800\text{m}/\text{s}$ z karabinu o masie $m_k=4\text{kg}$ (il. 2.28). Powiedzmy, że niewprawny strzelec trzyma luźno karabin. Wyznaczmy prędkość odrzutu karabinu $v_k$ w chwili, gdy kolba karabinu uderzy strzelca w bark.

Rozwiązanie: Przed wystrzałem pocisk i karabin są w spoczynku, więc ich całkowity pęd jest równy zeru. Zatem zgodnie z zasadą zachowania pędu, po wystrzale ich wypadkowy pęd jest też równy zeru, czyli:

$$0=m_k{v}_k-m_p{v}_p$$

lub

$$m_k{v}_k=m_p{v}_p$$

skąd:

$$v_k=\frac{m_p{v}_p}{m_k}$$

( 2.24 )

Zatem:

$$v_k=\frac{\mathrm{0,01}\text{kg}\cdot 800\text{m}/\text{s}}{4\text{kg}}=2\frac{\text{m}}{\text{s}}$$

Karabin uderza w bark z prędkością $v_k=2\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

Powyższy przykład ilustruje nam zasadę napędu odrzutowego rakiety. Karabin możemy traktować jako rakietę, a pocisk – jako porcję paliwa wyrzucanego z prędkością ${\overrightarrow{v}}_p$. Przy wyrzucaniu porcji paliwa o masie $m_p$ rakieta uzyskuje dodatkową prędkość ${\overrightarrow{v}}_k$.

W rzeczywistości przyrost prędkości rakiety jest większy. Należy uwzględnić poprawkę wynikającą z utraty masy rakiety zużywającej stopniowo porcje paliwa. Mamy tu analogię do karabinu maszynowego. Karabin maszynowy przy każdym wystrzale traci część masy równą masie pocisku. Mianownik we wzorze (2.24) zmniejsza się, więc wartość wyniku $\text{(}{v}_k\text{)}$ zwiększa się.

Pytania i problemy

1. Jaki układ ciał nazywamy izolowanym (odosobnionym)?
2. Sformułuj zasadę zachowania pędu i wyjaśnij jej zastosowanie na przykładzie.
3. Czy w układach nieizolowanych obowiązuje zasada zachowania pędu? Odpowiedź uzasadnij.
4. Omów zasadę napędu rakiety. Którą zasadę dynamiki należy w tym celu zastosować?
5. Na il. 2.26 przedstawiono zdjęcie śladów dwóch jąder $A$ i $B$ powstałych po rozpadzie jądra uranu. Ile wynosi stosunek ich mas, jeżeli stosunek ich prędkości jest równy $k$?
6. Pocisk o masie $m=10\text{kg}$, lecący poziomo z prędkością $v=400\text{m}/\text{s}$, uderza w worek z piaskiem i grzęźnie w nim. Worek znajduje się na platformie poruszającej się w stronę przeciwną do kierunku ruchu pocisku. Oblicz prędkość, jaką miała platforma, jeżeli po uderzeniu pocisku zatrzymała się. Masa platformy z piaskiem wynosi $M=800\text{kg}$.