1.9. Rzut pionowy w górę

Jeżeli ciału nadamy prędkość początkową $\vec{v}_{0}$ w kierunku pionowym w górę, to w całym czasie ruchu ciało ma stałe przyspieszenie ziemskie $\vec{g}$ zwrócone pionowo w dół, a więc w stronę przeciwną do prędkości początkowej $\vec{v}_{0}$ . Zatem ciało, wznosząc się, wytraca stale prędkość, aż do chwilowego zatrzymania się – wtedy prędkość chwilowa $v=0$ . W tym momencie ciało osiąga maksymalną wysokość $H$ (il. 1.29). Ta pierwsza faza ruchu w górę jest ruchem jednostajnie opóźnionym ze stałym opóźnieniem równym $g$ , oczywiście pod warunkiem, że pominiemy w tym zagadnieniu opór powietrza. W drugiej fazie ruchu ciało swobodnie spada.

Obliczmy maksymalną wysokość $H$ , na którą wzniesie się ciało (nie uwzględniamy tu, zgodnie z założeniem, oporu powietrza). Wykorzystamy wzór na położenie ciała w ruchu jednostajnie opóźnionym (1.31). Położenie $s$ w naszym zagadnieniu jest tożsame z wysokością $h$ , przyjmijmy $s_{0}=h_{0}=0$ oraz $a=g$ . Mamy zatem:

s=v_{0}t-\frac{gt^{2}}{2}

( 1.32 )

W poprzednim rozdziale postanowiliśmy, że w ruchu opóźnionym symbolem $a$ będziemy oznaczać wartość bezwzględną przyspieszenia. Analogicznie więc symbol $g$ oznacza wartość bezwzględną przyspieszenia ziemskiego. Zadajemy często pytanie: „czy $g$ jest równe plus $9,81\,\frac{m}{s^{2}$ czy minus $9,81\,\frac{m}{s^{2}$ ?” W równaniach takich jak (1.32), czy we wzorach takich jak (1.33), w miejsce $g$ należy bez wątpienia wstawiać $+9,81\,\frac{m}{s^{2}$ . Jednak gdybyśmy chcieli operować pełnym wektorowym opisem położenia czy prędkości, to wektorowi przyspieszenia ziemskiego przypisalibyśmy pionową współrzędną równą $-9,81\,\frac{m}{s^{2}$ .

Wzór (1.32) jest równaniem wysokości, na jakiej znajduje się ciało w każdej chwili, podczas rzutu pionowego w górę. Maksymalną wysokość $H$ , na jaką wzniesie się ciało, otrzymamy, gdy do tego wzoru podstawimy czas wznoszenia $t_{w}$ . Zgodnie ze wzorem (1.30) dla $a=g$ mamy $t_{w}=t_{k}=\frac{v_{0}}{g}$ . Zatem:

H=v_{0}t_{w}-\frac{gt_{w}^{2}}{2}=v_{0}\left(\frac{v_{0}}{g}\right)-\frac{g}{2}\left(\frac{v_{0}}{g}\right)^{2}

Stąd:

H=\frac{v_{0}^{2}}{2g}

( 1.33 )

Maksymalna wysokość wynosi H — Ilustracja 1.29. **Rzut pionowy w górę**

Maksymalna wysokość wynosi $H$

Zależność położenia (czyli wysokości) ciała rzuconego pionowo w górę od czasu, zgodnie ze wzorem (1.32), pokazana jest na il. 1.30. Wykres przedstawia parabolę, której maksimum odpowiada największej wysokości $H$ po upływie czasu $t_{w}$ . Parabola dotyka osi czasu w dwóch punktach $A$ i $B$ . Punkt $A$ odpowiada chwili wyrzucenia ciała $t=0$ . Punkt $B$ odpowiada czasowi $t=t_{c}$ , w którym ciało ponownie zetknie się z ziemią (czyli w którym wysokość położenia ciała zmaleje do zera). Zatem czas $t_{c}$ oznacza całkowity czas trwania rzutu (zarówno wznoszenia się, jak i opadania). Czas $t_{c}$ łatwo wyznaczymy, jeżeli przyjmiemy, że we wzorze (1.32) $h=0$ :

0=v_{0}t-\frac{gt^{2}}{2}

Jest to równanie kwadratowe, w którym niewiadomą jest czas $t$ . Ma ono dwa pierwiastki. Jeden to $t_{c_{1}}=0$ , co odpowiada wysokości zero w chwili startu. Drugi pierwiastek otrzymamy po prostym przekształceniu naszego równania: $t_{c_{2}}=\frac{2v_{0}}{g}$ .

Szukany przez nas czas odpowiada rozwiązaniu $t_{c_{2}}$ , zatem:

t_{c}=\frac{2v_{0}}{g}

( 1.34 )

Jest to wzór na czas trwania całego rzutu pionowego w górę. Jeżeli przez $t_{1}$ oznaczymy czas wznoszenia się ciała, a przez $t_{2}$ – czas spadania ciała, to $t_{c}=t_{1}+t_{2}=\frac{2v_{0}}{g}$ . Czas wznoszenia zgodnie ze wzorem (1.30) wynosi jednak $t_{1}=t_{w}=\frac{v_{0}}{g}$ . Widzimy więc, że w rzucie pionowym w górę czas wznoszenia jest równy czasowi spadania ciała: $t_{1}=t_{2}$ .

Wartość prędkości dla rzutu pionowego dana jest wzorem (1.20), w którym podstawiono w miejsce $a$ przyspieszenie ziemskie $g$ :

v=v_{0}-gt

( 1.35 )

Ilustracja 1.30. **Wykres zależności wysokości wzniesienia się ciała od czasu w rzucie pionowym w górę**

Łatwo możemy się teraz przekonać, że prędkość końcowa ciała w chwili zderzenia z ziemią jest równa prędkości początkowej, ale, oczywiście, zwróconej przeciwnie: $\vec{v}=-\vec{v}_{0}$ . Po osiągnięciu wysokości maksymalnej ciało zawraca i prędkość zmienia znak, ale w dalszym ciągu obowiązuje wzór (1.35) (patrz – wykres prędkości na il. 1.28). Fakt, że tuż przy ziemi ciało osiąga prędkość $v=-v_{0}$ , wynika ze wzoru (1.35).

Ilustracja 1.31. **Wykres zależności prędkości od czasu w rzucie pionowym w górę**

Przykład 8

Obliczymy najmniejszą prędkość, z jaką należy rzucić pionowo w górę jakieś ciało, aby dotarło na wysokość $H=12\, m$ czteropiętrowego budynku.

Rozwiązanie: Skorzystamy ze wzoru (1.33) na maksymalną wysokość $H$ w rzucie pionowym. Wyznaczając z niego prędkość początkową $v_{0}$ , mamy:

v_{0}=\sqrt{2gH}=\sqrt{2\cdot\left(9,81\,\frac{m}{s^{2}}\right)\cdot12\, m}=15,34\,\frac{m}{s}=55,22\,\frac{km}{h}

Aby ciało dotarło na wysokość 12 m, należy je wyrzucić z prędkością równą co najmniej 55,22 km/h.

Pytania i problemy

Jaki czas należy wstawić do wzoru (1.32), aby otrzymać wzór (1.33) na maksymalną wysokość $H$ ? Wykonaj odpowiednie przekształcenia.
Udowodnij, że dla rzutu pionowego prędkość końcowa $v_{k}$ (tuż przed upadkiem ciała) jest równa, co do wartości bezwzględnej, prędkości początkowej $v_{0}$ .
Wykonaj wykresy położenia wysokości i prędkości ciała w funkcji czasu, wykorzystując dane z przykładu (Przykład 8).
Przedstaw wykresy zależności prędkości od czasu i zależności drogi od czasu dla ruchu samochodu opisanego w przykładzie (Przykład 6). Zaznacz punkty, w których nastąpi zderzenie z przeszkodą. Rozszerz wykresy w ten sposób, aby uwidocznić czas i drogę hamowania, gdy nie ma przeszkody.