1.5. Przyspieszenie ziemskie, swobodne spadanie ciał

Badaniem swobodnie spadających ciał już w starożytności zajmował się Arystoteles. Nie opisał jednak tego zjawiska prawidłowo, ponieważ oparł się przede wszystkim na spekulacjach myślowych, mimo że generalnie uznawał rolę doświadczenia. Takie podejście, często stosowane w starożytności, w wielu przypadkach prowadziło do błędnych wyników.

Galileusz natomiast uznawał, że doświadczenie rozstrzyga o prawidłowości rozważań teoretycznych. Dlatego osiągnął wiele sukcesów w swoich badaniach. Tego typu podejście stało się podstawową metodą badań nowożytnej fizyki. Arystoteles nie zdawał sobie sprawy z roli, jaką dla swobodnie spadających ciał odgrywa opór powietrza. Nie uwzględniano go aż do XVII wieku, kiedy to Galileusz przeprowadził wiele doświadczeń ze swobodnie spadającymi ciałami i zrozumiał, że w tym ruchu opór powietrza ma duże znaczenie (il. 1.18). Wpływ oporu powietrza jest duży dla ciał lekkich i dużych, dlatego badacz swoje doświadczenia wykonywał z ciałami ciężkimi i małymi. Stwierdził (w granicach niepewności pomiarowej), że droga spadającego ciała jest wprost proporcjonalna do kwadratu czasu. Wobec tego ruch ciała spadającego w sytuacji, gdy możemy pominąć opór powietrza, jest ruchem jednostajnie przyspieszonym. Proporcjonalność drogi do kwadratu czasu łatwo można zauważyć, gdy we wzorze (1.17) podstawimy $v_{0}=0$ (co oznacza, że spadanie jest swobodne – bez nadawania prędkości początkowej). Wtedy:

s=\frac{at^{2}}{2}

( 1.20 )

Galileusz pierwszy stwierdził, że przyspieszenie ciał spadających w pobliżu powierzchni Ziemi nie zależy od ich masy (jeżeli pominie się opory powietrza – il. 1.18).

Ilustracja 1.18. **Kulki spadające z jednakowym przyspieszeniem**

Rysunek sporządzony na podstawie współczesnego zdjęcia stroboskopowego spadającej kulki, wykonanego z otwartą migawką. Światło błyska w stałych odstępach czasu, co 1/30 sekundy. Obok kulki o dużej masie spada kulka o masie małej. Widać, że kulki spadają jednocześnie, a więc z jednakowym przyspieszeniem, niezależnie od wartości ich masy

Przyspieszenie ziemskie

Wszystkie ciała w próżni, w pobliżu powierzchni Ziemi, spadają z jednakowym przyspieszeniem $g$ , zwanym przyspieszeniem ziemskim:

g=9,81\,\frac{m}{s^{2}}

Jest to bardzo ważne i ciekawe zjawisko!

Należy zaznaczyć, że wartość $g=9,81\, m/s^{2}$ jest średnią, przybliżoną z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku, która może nieco się różnić w zależności od szerokości geograficznej i wysokości nad poziomem morza. Na przykład, dla Warszawy $g=9,81230\, m/s^{2}$ , a dla Nowego Jorku $g=9,82067\, m/s^{2}$ .

Spadające ciało przebywa w pionie drogę równą wysokości, z której spada. Wysokość oznacza się symbolem $h$ , więc dla swobodnego spadania, gdzie przyspieszenie wynosi $g$ , wzór (1.20) przybierze postać:

h=\frac{gt^{2}}{2}

( 1.21 )

Przykład 5

Zobaczymy, jak za pomocą stopera można zmierzyć głębokość studni. Do studni upuszczono kamień i usłyszano uderzenie o dno po czasie $t=1,6\, s$ . Znając przyspieszenie ziemskie $g=9,81\, m/s^{2}$ oraz szybkość głosu w powietrzu $v=340\, m/s$ , oblicz głębokość studni.

Rozwiązanie: Czas $t$ składa się z dwóch przedziałów: $t_{1}$ – czasu spadania kamienia, oraz $t_{2}$ – czasu lotu dźwięku w górę:

t=t_{1}+t_{2}

Czas $t_{1}$ obliczymy z równania (1.21):

t_{1}=\sqrt{\frac{2h}{g}}

Czas $t_{2}$ znajdziemy z równania (1.8) drogi dźwięku w ruchu jednostajnym:

t_{2}=\frac{h}{v}

Dodając te dwa równania stronami, otrzymamy:

t_{1}+t_{2}=\sqrt{\frac{2h}{g}}+\frac{h}{v}=t

( 1.22 )

Jest to równanie z szukaną przez nas niewiadomą $h$ , które po prostych przekształceniach przyjmie postać:

gh^{2}-2v\left(v+at\right)h+gv^{2}t^{2}=0

( 1.23 )

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe. Ma ono dwa pierwiastki:

h_{1}=vt+\frac{v^{2}}{g}-\frac{v}{g}\sqrt{v^{2}+2vgt}

h_{2}=vt+\frac{v^{2}}{g}+\frac{v}{g}\sqrt{v^{2}+2vgt}

Musimy obecnie wybrać jedno z tych rozwiązań, jako odpowiadające rzeczywistości. Zauważmy, że wyraz $v t$ oznacza drogę przelotu dźwięku w całym czasie $t$ (będącym łącznym czasem, obejmującym czas spadania kamienia i czas powrotu dźwięku). Droga ta jest bez wątpienia dużo dłuższa od rzeczywistej głębokości studni. Rozwiązanie drugie nie odpowiada więc rzeczywistości, gdyż daje wartość $h$ jeszcze większą, zatem rozwiązanie pierwsze daje prawdziwą głębokość studni:

h_{1}=vt+\frac{v^{2}}{g}-\frac{v}{g}\sqrt{v^{2}+2vgt}=340\,\frac{m}{s}\cdot1,6\, s+\frac{\left(340\,\frac{m}{s}\right)^{2}}{9,81\,\frac{m}{s^{2}}}-\frac{340\,\frac{m}{s}}{9,81\,\frac{m}{s^{2}}}\sqrt{\left(340\,\frac{m}{s}\right)^{2}+2\cdot340\,\frac{m}{s}\cdot9,81\,\frac{m}{s^{2}}\cdot1,6\, s}=12\, m

Głębokość studni wynosi 12 m.

Zwróć uwagę na to, że głębokość studni można oszacować na podstawie rozumowania uproszczonego. Zauważmy, że prędkość dźwięku jest dużo większa niż średnia prędkość spadającego kamienia. To oznacza, że $t_{2}$ – czas lotu dźwięku w górę jest dużo mniejszy niż czas $t_{1}$ – spadania kamienia $t_{2}\ll t_{1}$ . Zatem, pomijając $t_{2}$ w równaniu $t=t_{1}+t_{2}$ , można szybko oszacować głębokość studni z uproszczonego równania:

t\approx t_{1}=\sqrt{\frac{2h}{g}}

Jak widać, tak oszacowana głębokość studni mało różni się od wartości dokładniejszej: $h=gt^{2}=12,56\, m$ .

Umiejętność oszacowania wielkości jest ważna, bo pozwala sprawdzić, czy otrzymany wynik obliczeń jest sensowny; często też wartość przybliżona jest wystarczająca do celów praktycznych.

Pytania i problemy

W jaki sposób można stwierdzić, że przyspieszenie spadających ciał nie zależy od ich masy?
Kiedy można pominąć opór powietrza przy swobodnym spadaniu ciał? Rozważ trzy możliwe czynniki: masę spadającego cała, jego kształt oraz wysokość z jakiej ciało upuszczamy.
Z kawałka grubego papieru wytnij krążek o średnicy nieco mniejszej od średnicy monety. Upuść jednocześnie monetę i krążek z tej samej wysokości (il. 1.19). Powtórz to doświadczenie z krążkiem papieru umieszczonym pod i nad monetą. Postaraj się, aby moneta i krążek spadały „płasko” bez obrotów. Opisz wnioski z tych doświadczeń.

Ilustracja 1.19. Ilustracja do pytania 3

a) upuszczanie równoczesne monety i papierowego krążka, b) upuszczanie monety ze znajdującym się pod nią krążkiem papierowym, c) upuszczanie monety ze znajdującym się nad nią krążkiem papierowym

Obserwuj moment upadania tych przedmiotów na podłogę. We wnioskach z doświadczeń powołaj się na wyniki badań Galileusza i uwzględnij opór powietrza. Zauważ, że w przypadkach b) i c) efektywny opór ruchu działający na krążek papierowy jest taki sam jak opór działający na monetę.
W jaki sposób Galileusz stwierdził, że wszystkie ciała w próżni w pobliżu Ziemi spadają z jednakowym przyspieszeniem ziemskim $g$ ?
Z wysokości początkowej H 0 nad ziemią spada swobodnie ciężarek. Napisz równanie położenia ciężarka h w zależności od czasu t w przypadku, gdy:
1. oś położenia – wysokości $h$ jest skierowana w dół, a punkt zerowy znajduje się w miejscu startu ciężarka;
2. oś położenia – wysokości $h$ jest skierowana w górę, a punkt zerowy znajduje się na ziemi.