2.9. Siły w ruchu po okręgu

Z problematyką ruchu po okręgu i sił towarzyszących takiemu ruchowi zetknęliśmy się już w pierwszym tomie e-podręcznika (rozdziały 1.3 Ruch jednostajny po okręgu, 1.4 Siła dośrodkowa i 1.6 Siły bezwładności). W tomie drugim (rozdział 1.15. Ruch jednostajny po okręgu) przypomnieliśmy podstawy kinematyki ruchu po okręgu.

Przypomnimy teraz, w postaci zbiorczej syntezy zilustrowanej przykładowym problemem, podstawowe zagadnienia związane z dynamiką ruchu jednostajnego po okręgu.

Przyspieszenie dośrodkowe

Ruch po okręgu musi być ruchem przyspieszonym. Nawet jeżeli nie zmienia się wartość prędkości w takim ruchu, to nieustannie zmienia się jej kierunek. Tak więc ciało w ruchu jednostajnym po okręgu doznaje przyspieszenia dośrodkowego zgodnie z wzorem (1.64):

$a_{r}=\frac{v^{2}}{r}$

( 2.30 )
Jeśli wprowadzimy do opisu ruchu po okręgu wielkości $\omega$ (prędkość kątowa), $\nu$ (częstotliwość obiegu) oraz $T$ (okres obiegu), to związki tych wielkości z prędkością $v$ oraz promieniem okręgu $r$ pozwalają zapisać przyspieszenie dośrodkowe na trzy jeszcze inne sposoby, równoważne ze wzorem (2.30):

$a_{r}=\omega^{2} r$

$a_{r}=4\pi^{2}\nu^{2} r$

$a_{r}=\frac{4\pi^{2} r}{T^{2}}$
Przyspieszenie dośrodkowe jest wektorem zawsze prostopadłym do wektora prędkości i skierowanym dokładnie ku środkowi okręgu.

Siła dośrodkowa

Druga zasada Newtona mówi, że przyspieszenie ciała jest wywołane siłą. Zatem w ruchu po okręgu przyczyną występowania przyspieszenia dośrodkowego jest siła zwana siłą dośrodkową, oznaczana symbolem $F_{r}$ . Siłę dośrodkową zgodnie ze wzorem Newtona: $F_{r}=ma_{r}$ , możemy przedstawić następująco:

F_{r}=\frac{mv^{2}}{r}

( 2.31 )

gdzie $m$ – masa ciała.

Podobnie jak w przypadku przyspieszenia dośrodkowego, siła dośrodkowa może być wyrażona za pomocą trzech innych, równoważnych wzorów:

F_{r}=m\omega^{2}r

( 2.32 )

F_{r}=4\pi^{2}mv^{2}r

( 2.33 )

F_{r}=\frac{4\pi^{2}mr}{T^{2}}

( 2.34 )

Według drugiej zasady dynamiki kierunek i zwrot przyspieszenia jest zgodny z kierunkiem i zwrotem działającej siły. Siła dośrodkowa jest więc skierowana do środka okręgu.

Siła dośrodkowa nie jest rodzajem oddziaływania – określenie „dośrodkowa” opisuje rolę, jaką spełnia siła. W roli siły dośrodkowej mogą występować różne siły, np. siła grawitacji, siła tarcia, siła sprężystości, siła elektryczna czy siła magnetyczna.

Wzór (2.31) opisuje siłę dośrodkową, niezbędną do zapewnienia ruchu jednostajnego ciała o masie $m$ po okręgu o promieniu $r$ z prędkością liniową $v$ . Analogiczną interpretację mają wzory (2.32)–(2.34).

Wirujący układ odniesienia. Siła odśrodkowa

Wirujący układ odniesienia jest nieinercjalny. W odróżnieniu jednak od nieinercjalnego układu odniesienia poruszającego się ruchem prostoliniowym, przyspieszenie wirującego układu nie jest jednoznacznie zdefiniowane. Jest to niewątpliwie przyspieszenie dośrodkowe $a_{r}$ , które jest dane wzorem (1.64):

a_{r}=\frac{v^{2}}{r}

Problem tkwi w tym, że na ogół prędkości $v$ oraz odległości $r$ od osi obrotu w różnych punktach wirującego układu są różne. Możemy częściowo zlikwidować tę niejednoznaczność, stosując wzór (1.65):

a_{r}=\omega^{2} r

Nadal jednak różne punkty w wirującym układzie mają różne odległości od osi obrotu. By wyeliminować tę niejednoznaczność przyjmiemy, że będziemy rozpatrywać ciała będące punktami materialnymi, a ich ewentualne przemieszczanie się w wirującym układzie będziemy ograniczać tak, by zmiany odległości były pomijalne wobec $r$ .

Ciało poruszające się po okręgu obraca się wraz z wirującym układem nieinercjalnym, w którym samo spoczywa. W tym układzie na ciało działa siła bezwładności. Jest ona przeciwnie skierowana do przyspieszenia dośrodkowego tego układu, czyli od środka okręgu. Stąd siła ta nosi nazwę siły odśrodkowej.

Jak każda siła bezwładności, tak siła odśrodkowa wyraża się ogólnym wzorem:

\vec{F}_{od}=-m\vec{a}_{r}

( 2.35 )

Uwzględniając wzór (2.35), możemy zatem zapisać wartość tej siły jako:

\vec{F}_{od}=\frac{m v^{2}}{r}

( 2.36 )

Porównując wzory (2.36) i (2.32), można odnieść wrażenie, że wartości siły odśrodkowej i dośrodkowej są sobie równe. Pamiętać jednak należy, że równość ta obowiązuje tylko w sytuacji „statycznej”, gdy w wirującym układzie nieinercjalnym rozpatrywane ciało spoczywa.

Jak każda siła bezwładności, siła odśrodkowa jest siłą pozorną: nie podlega ona III zasadzie dynamiki Newtona i występuje jedynie w nieinercjalnym wirującym układzie odniesienia. Jeżeli chcemy opisać ruch ciała w takim układzie, stosując do tego II zasadę dynamiki, to siłę odśrodkową dodajemy wektorowo do wszystkich sił realnych działających na to ciało.

Przykład 8

Kto z nas nie jeździł na karuzeli? Znamy z własnego doświadczenia, jak na karuzeli działa odśrodkowa siła bezwładności. Jak opisuje działające siły obserwator ruchomy, a jak – obserwator nieruchomy?

Rozwiązanie

Obserwator ruchomy, który obraca się wraz z karuzelą i patrzy na pasażera siedzącego w foteliku obok, stwierdzi istnienie siły odśrodkowej. To ona powoduje, że w czasie ruchu karuzeli lina, na której jest zawieszony fotelik, odchyla się od pionu o kąt $\alpha$ (na il. 2.36 fotelik z pasażerem jest zastąpiony kółkiem). Rozkład sił w układzie ruchomym – nieinercjalnym – przedstawiono na il. 2.36a.

Suma sił działających na fotelik i pasażera musi być równa zeru, aby byli oni nieruchomi w tym układzie. Działają tu trzy siły: siła ciężaru $\vec{P}$ , siła odśrodkowa $\vec{F}_{od}$ i siła sprężystości napiętej liny $\vec{N}$ .

Rzeczywiście suma wektorowa tych sił jest równa zeru, bo sumą sił $\vec{P}$ i $\vec{F}_{od}$ jest siła $\vec{Q}$ napinająca linę, zaś w wydłużonej nieco linie powstaje siła reakcji (siła naciągu liny) $\vec{N}$ , która jest równa sile $\vec{Q}$ , lecz ma przeciwny zwrot.

Ilustracja 2.36. **Siła działająca na fotelik z punktu widzenia obserwatora ruchomego i nieruchomego**

a) obserwator ruchomy: siła odśrodkowa powoduje odchylenie liny od pionu, złożenie sił $\vec{P}$ i $\vec{F}_{od}$ daje siłę $\vec{Q}$ , która jest równoważona przez $\vec{N}$ , b) obserwator nieruchomy: odchylenie liny od pionu wytwarza poziomą siłę wypadkową (sił $\vec{P}$ i $\vec{N}$ ) $\vec{F}_{r}$ siły dośrodkowej

Obserwator nieruchomy (układ inercjalny) stwierdzi, że na pasażera działają dwie siły: ciężkości $\vec{P}$ oraz sprężystości (naprężenia) liny $\vec{N}$ . Zanim karuzela zaczęła się kręcić, siły te miały ten sam pionowy kierunek, przeciwne zwroty i jednakowe wartości; zatem równoważyły się. Wprawienie karuzeli w obrót spowodowało odchylenie fotelika od pionu. Zmieniło to kierunek działania siły $\vec{N}$ , spowodowało także wzrost jej wartości. Siły $\vec{P}$ i $\vec{N}$ nie są teraz współliniowe, więc nie mogą się równoważyć. Ich wypadkowa, $\vec{F}_{r}$ , jest skierowana poziomo, gdy lina przestaje się już odchylać. Właśnie ta siła pełni rolę siły dośrodkowej powodującej, że torem fotelika nie jest linia prosta, ale okrąg.

Uzupełnimy powyższe opisy wyprowadzeniem wzorów na wartość kąta $\alpha$ , o jaki odchyla się od pionu lina karuzeli, oraz wartość siły sprężystości (naprężenia) $\vec{N}$ samej liny.

W tym celu zauważmy, że skoro

\vec{F}_{r}=\vec{P}+\vec{N}

\vec{P}=\vec{F}_{r}-\vec{N}

Możemy teraz wprowadzić siłę $\vec{Q}=-\vec{N}$ (il. 2.36b). Pozwala to stwierdzić, że:

\vec{P}=\vec{F}_{r}-\vec{Q}

Zatem ciężar $\vec{P}$ można matematycznie rozłożyć na dwie siły składowe: $\vec{F}_{r}$ skierowaną poziomo i zwróconą ku środkowi okręgu oraz $\vec{Q}$ skierowaną wzdłuż liny (il. 2.36b). Siła $\vec{Q}$ jest równoważona przez siłę naciągu liny $\vec{N}$ .

Jak widać na il. 2.36:

\tg\alpha=\frac{F_{od}}{P}=\frac{F_{r}}{P}

( 2.37 )

Ponieważ $F_{r}=m\omega^{2}r$ oraz $P=mg$ , więc:

\tg\alpha=\frac{\omega^{2}r}{g}

( 2.38 )

Z kolei $\cos\alpha=\frac{P}{Q}=\frac{P}{N}$ . Daje to nam:

N=P\cos\alpha

Zatem, im większa jest prędkość obrotów – prędkość kątowa karuzeli, tym większy jest kąt $\alpha$ . Z kolei wraz ze wzrostem kąta $\alpha$ rośnie wartość siły naprężenia liny $\vec{N}$ (bo maleje wartość $\cos\alpha$ ).

Pytania i problemy

W jaki sposób pasażer karuzeli (il. 2.36a) wyjaśni, dlaczego znajduje się w stanie spoczynku względem krzesła? W jaki sposób scharakteryzuje działającą na niego siłę bezwładności?
Posługując się il. 2.36b, zaproponuj wyjaśnienie, które przedstawi obserwator nieruchomy w celu opisania przyczyny ruchu pasażera karuzeli.
Dziewczynka o masie $m=50\, kg$ huśta się na huśtawce. Jaką siłą działa ona na siodełko huśtawki podczas przejścia przez najniższy punkt z prędkością $v=5\, m/s$ ? Linki huśtawki mają długości $l=4\, m$ .