7.6. Cykl Carnota

W termodynamice szczególnie ważną rolę odgrywa cykl Carnota, gdyż dowolny cykl można przedstawić jako sumę pewnej liczby elementarnych cykli Carnota. Ponadto umożliwia on znalezienie maksymalnej sprawności dowolnego silnika cieplnego. Cykl Carnota jest najlepszy ze wszystkich możliwych i stanowi ideał dla konstruktorów silników cieplnych.

Cykl Carnota można zrealizować przez umieszczenie substancji roboczej wewnątrz cylindra zamkniętego tłokiem i dokonywanie na niej przemian: izotermicznego rozprężania w temperaturze $T_{1}$ , adiabatycznego rozprężania obniżającego temperaturę do wartości $T_{2}$ , następnie izotermicznego sprężania i w końcu sprężania adiabatycznego, które doprowadza układ do stanu początkowego.

W celu ułatwienia naszych rozważań przyjmiemy, że substancją roboczą jest gaz doskonały. W rzeczywistych silnikach cieplnych stosuje się parę wodną lub mieszankę paliwa z powietrzem albo z tlenem. Ciepło, które służy jako źródło pracy, jest uzyskiwane ze spalania benzyny czy węgla albo z reakcji jądrowych. Część ciepła oddawana jest przez rurę wydechową do otoczenia lub przekazywana do chłodnicy w kondensatorze pary wodnej.

Realizację cyklu Carnota, przedstawiono na il. 7.22. Cylinder ma ścianki wykonane z izolatora, natomiast podstawa cylindra dobrze przewodzi ciepło. Tłok jest również wykonany z izolatora cieplnego. Przyjmiemy, że stan początkowy jest dany przez $p_{1}$ , $V_{1}$ i $T_{1}$ . Najpierw realizujemy proces izotermiczny przez postawienie cylindra na zbiorniku ciepła mającego dużą pojemność cieplną i temperaturę $T_{1}$ (il. 7.22a). Przez powolne rozprężanie izotermiczne gaz zwiększa swoją objętość do wartości $V_{2}$ oraz obniża ciśnienie do wartości $p_{2}$ . Gaz pobiera ze zbiornika ciepło $Q_{1}$ i wykonuje pracę $W_{1}$ równą pobranemu ciepłu.

Ilustracja 7.22. **Realizacja poszczególnych procesów w cyklu Carnota**

a) (1–2) proces izotermiczny, b) (2–3) proces adiabatyczny, c) (3–4) proces izotermiczny, d) (4–1) proces adiabatyczny

Proces rozprężania adiabatycznego zachodzi wtedy, gdy cylinder jest ustawiony na izolacyjnej podstawie. Gaz zwiększa objętość do wartości $V_{3}$ , ciśnienie obniża się do wartości $p_{3}$ , a temperatura – do wartości $T_{2}$ (il. 7.22b). Gaz w tym procesie wykonuje pracę $W_{2}$ kosztem energii wewnętrznej.

Po ustawieniu cylindra na chłodnicy, czyli na zbiorniku ciepła o niskiej temperaturze $T_{2}$ , powoli sprężamy gaz izotermicznie. Objętość zmniejsza się do wartości $V_{4}$ , a ciśnienie do wartości $p_{4}$ . W procesie tym ciepło $Q_{2}$ zostaje przekazane do chłodnicy. Ciepło $Q_{2}$ jest równe pracy $W_{3}$ wykonanej nad gazem, energia wewnętrzna w tym procesie nie ulega zmianie (il. 7.22c).

Ostatni proces (zamykający cykl) przebiega adiabatycznie (il. 7.22d), zatem cylinder musi ponownie stać na materiale nieprzewodzącym ciepła. W celu doprowadzenia do warunków początkowych, należy sprężyć gaz, zmniejszając jego objętość do wartości początkowej $V_{1}$ i zwiększając ciśnienie do początkowej wartości $p_{1}$ . Praca sprężania adiabatycznego powoduje wzrost temperatury gazu i przez to wzrost jego energii wewnętrznej.

Przebieg wszystkich procesów w cyklu Carnota przedstawiony został jako zależność $p$ od $V$ na il. 7.23. Wypadkowa praca $W$ wykonana przez gaz w tym cyklu przedstawiona jest przez pole powierzchni ograniczonej krzywymi. Praca ta jest równa wypadkowemu ciepłu pobranemu przez układ podczas cyklu. Wypadkowe ciepło pobrane przez układ wynosi $Q_{1}-Q_{2}$ , zatem:

W=Q_{1}-Q_{2}

( 7.36 )

Równość ta wynika z pierwszej zasady termodynamiki – układ w wyniku przebiegu cyklu wraca do stanu początkowego, zmiana energii wewnętrznej gazu jest równa zeru i dlatego w równaniu (7.36) energia wewnętrzna nie występuje.

Ilustracja 7.23. **Cykl Carnota**

Układ pracuje jako silnik cieplny

Ze wzoru wynika, że energia pobrana ze źródła ciepła $Q_{1}$ tylko w części zamieniona zostaje na pracę wypadkową w cyklu Carnota. Część tej energii jako $Q_{2}$ zostaje bezużytecznie oddana do chłodnicy. Stosunek pracy wypadkowej $W$ do energii pobranej jest sprawnością $\eta$ cyklu. Zatem:

\eta=\frac{Q_{1}-Q_{2}}{Q_{1}}

( 7.37 )

Wykażemy teraz, że sprawność cyklu Carnota możemy wyrazić za pomocą temperatury zbiornika ciepła $T_{1}$ i temperatury chłodnicy $T_{2}$ (w celu zrozumienia dalszej części tego podrozdziału należy się zapoznać – chociaż pobieżnie – z logarytmami):

\eta=\frac{T_{1}-T_{2}}{T_{1}}

( 7.38 )

W celu wyprowadzenia wzoru (7.38) trzeba się zapoznać ze wzorem na ciepło w przemianie izotermicznej. Wzoru tego dotychczas nie podawaliśmy, gdyż jego wyprowadzenie wykracza poza ramy szkoły ponadgimnazjalnej. Otóż ciepło $Q$ dostarczone do gazu rozprężającego się izotermicznie w temperaturze $T$ od objętości $V_{1}$ do $V_{2}$ wyraża się za pomocą następującego wzoru logarytmicznego:

Q=nRT\,\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}

( 7.39 )

gdzie $n$ oznacza liczbę moli gazu, zaś $R$ jest stałą gazową. Jeżeli gaz podlega sprężeniu, w liczniku tego wzoru występuje mniejsza objętość niż w mianowniku i logarytm ze stosunku tych objętości jest ujemny, co oznacza, że i ciepło jest ujemne, czyli jest oddawane przez gaz.

W przypadku cyklu Carnota podczas rozprężania izotermicznego (1–2) gaz pobiera ciepło $Q_{1}$ w temperaturze $T_{1}$ , więc:

Q_{1}=nRT_{1}\,\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}

( 7.40 )

a podczas sprężania izotermicznego (3–4) gaz oddaje ciepło $Q_{2}$ , które jest równe:

Q_{2}=nRT_{2}\,\ln\frac{V_{3}}{V_{4}}

( 7.41 )

Po podstawieniu tych wyrażeń do wzoru (7.37) otrzymujemy:

\eta=\frac{nRT_{1}\,\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}-nRT_{2}\,\ln\frac{V_{3}}{V_{4}}}{nRT_{1}\,\ln\frac{V_{2}}{V_{1}}}

( 7.42 )

Widzimy, że wzór ten przechodzi we wzór (7.38) pod warunkiem, że:

\frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{V_{3}}{V_{4}}

Udowodnienie tego nie sprawi nam kłopotu, jeżeli rozważymy równania wszystkich przemian występujących w cyklu Carnota:

\begin{array}{c} p_{1}V_{1}=p_{2}V_{2}\\ p_{2}V_{2}^{\kappa}=p_{3}V_{3}^{\kappa}\\ p_{3}V_{3}=p_{4}V_{4}\\ p_{4}V_{4}^{\kappa}=p_{1}V_{1}^{\kappa} \end{array}

( 7.43 )

Po pomnożeniu tych równań stronami przez siebie oraz skróceniu przez wspólny czynnik $p_{1}p_{2}p_{3}p_{4}$ pojawiający się po obu stronach wynikowego równania, otrzymujemy:

V_{1}V_{2}^{\kappa}V_{3}V_{4}^{\kappa}=V_{1}^{\kappa}V_{2}V_{3}^{\kappa}V_{4}

Stąd:

\left(V_{2}V_{4}\right)^{\kappa-1}=\left(V_{1}V_{3}\right)^{\kappa-1}

oraz

\frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{V_{3}}{V_{4}}

( 7.44 )

Wzór ten pozwala na uproszczenie czynników występujących po prawej stronie wyrażenia (7.42) z wyjątkiem temperatury, co prowadzi do wzoru (7.38): $\eta=\frac{T_{1}-T_{2}}{T_{1}}$ .

Ze wzoru (7.38) wynika, że sprawność cyklu Carnota zawsze jest mniejsza od 1, bowiem temperatura $T_{2}$ chłodnicy ma wartość większą od zera, gdyż temperatura zera bezwzględnego jest nieosiągalna.

Możemy odwrócić kierunek cyklu Carnota (na wykresie zależności $p$ od $V$ – il. 7.23 – oznaczałoby to przebieg w kierunku odwrotnym do wskazówek zegara). Wtedy będziemy rozprężać gaz izotermicznie w niższej temperaturze, zaś sprężać izotermicznie w wyższej temperaturze.

W wyniku przebiegu cyklu ciepło będzie przekazywane od ciała o temperaturze niższej do ciała o temperaturze wyższej. Zatem ciepło będzie przekazywane w kierunku przeciwnym do samorzutnego przepływu ciepła.

Jednakże procesowi przekazywania ciepła w tym nienaturalnym kierunku musi towarzyszyć praca czynnika zewnętrznego. Sytuacja taka zachodzi w lodówkach. Ilość ciepła $Q_{2}$ pobrana, zgodnie ze wzorem (7.37), wynosi $Q_{2}=Q_{1}\left(1-\eta\right)$ . Praca $W$ , jaka musi towarzyszyć przekazywaniu ciepła w maszynie chłodniczej, wynosi $W=Q_{1}-Q_{2}$ , zatem:

Q_{2}=\frac{1-\eta}{\eta}W

Za pomocą tego wzoru można określić, ile ciepła zostanie odprowadzone z ciała zimniejszego przy wykonaniu określonej pracy. Maszyna chłodnicza jest tym bardziej ekonomiczna, im mniejszej pracy wymaga do odprowadzenia określonej wartości ciepła.

Porównajmy teraz sprawność cyklu Carnota ze sprawnością omawianego uprzednio silnika spalinowego. Temperatura spalania mieszanki benzynowej wynosi około 2700 K. Załóżmy, że taką temperaturę będzie miał zbiornik ciepła, a otaczające powietrze o temperaturze około 300 K będzie służyło jako chłodnica. Wtedy sprawność cyklu Carnota wyniesie:

\eta=\frac{2\,700\, K-300\, K}{2\,700\, K}=0,89

Porównując tę liczbę z maksymalną sprawnością silnika benzynowego, wynoszącą 0,56, łatwo możemy obliczyć, że sprawność cyklu Carnota jest o około 33% większa od sprawności cyklu Otta.

Obliczmy jeszcze maksymalną sprawność silnika parowego, który pracowałby w cyklu Carnota. Przyjmując, że źródłem ciepła jest kocioł z wrzącą wodą, która ma temperaturę 373 K, zaś chłodnicą woda mająca temperaturę otaczającego powietrza 293 K, otrzymamy:

\eta=\frac{373\, K-293\, K}{373\, K}=0,21

Widzimy, że sprawność silników parowych jest dużo mniejsza od sprawności silników spalinowych. Między innymi dlatego obecnie silników parowych prawie się nie stosuje. Jest to ogólna prawidłowość. Można udowodnić, że dowolny realny cykl musi mieć sprawność mniejszą od sprawności idealnego cyklu Carnota. Sprawność każdego cyklu można wyrazić za pomocą wzoru (7.37), zaś sprawność idealnego cyklu Carnota jest wyrażona za pomocą wzoru (7.38). Zatem dla dowolnego cyklu:

\frac{Q_{1}-Q_{2}}{Q_{1}} {mniejsze} \frac{T_{1}-T_{2}}{T_{1}}

( 7.45 )

EXE Doświadczenie cykl Carnota

PDF WIRTUALNE ĆWICZENIA – INSTRUKCJA URUCHOMIENIA

Pytania i problemy

Nazwij kolejno wszystkie rodzaje przemian gazowych, jakie występują w cyklu Carnota.
Przedstaw cykl Carnota na wykresie zależności $p$ od $V$ .
Podaj wzór na sprawność dowolnego cyklu i wzór na sprawność cyklu Carnota.
Porównaj maksymalną sprawność cyklu Carnota i maksymalną sprawność cyklu Otta dla silnika pracującego między tymi samymi temperaturami źródła i chłodnicy.
Kiedy maszyna, której działanie jest oparte na cyklu termodynamicznym, pracuje jako silnik cieplny, a kiedy – jako maszyna chłodząca?