3.1. Praca

Jeżeli pewna siła jest przyłożona do określonego ciała i przesuwa je w kierunku działania siły o mały odcinek drogi $\Delta s$ , to mówimy, że siła wykonuje pracę $\Delta W$ równą iloczynowi wartości siły i przesunięcia:

$\Delta W=F\Delta s$

( 3.1 )

Ta definicja pracy poznana w gimnazjum jest słuszna w przypadku, gdy siła i przemieszczenie mają ten sam kierunek. W ogólnym przypadku, gdy siła i przesunięcie mają różne kierunki, wzór ten należy zmodyfikować.

Weźmy pod uwagę chłopca ciągnącego sanki siłą $\vec{F}$ za pomocą linki nachylonej pod kątem $\alpha$ do kierunku przesunięcia, jak na il. 3.2.

Ilustracja 3.2. **Praca przesunięcia sanek wynosi $\Delta W=F_{s}\Delta s=F\Delta s\cos\alpha$**

Siła jest wektorem, możemy więc ją rozłożyć na dwie składowe: $F_{s}=F\cos\alpha$ równoległą do przesunięcia $\Delta s$ i $F_{n}=F\sin\alpha$ prostopadłą do $\Delta s$ . Zgodnie ze wzorem (3.1) praca wynosi $\Delta W=F_{s}\Delta s$ , więc:

$\Delta W=F\Delta s\cos\alpha$

( 3.2 )

Siła składowa prostopadła nie wykonuje pracy, bo w tym kierunku sanki się nie przemieszczają.

Wzór (3.2) można stosować dla dowolnego przypadku stałej siły skierowanej pod kątem $\alpha$ do przesunięcia wzdłuż drogi. W przypadku, gdy siła nie jest stała, należy wziąć średnią wartość siły na drodze $\Delta s$ .

Jednostką siły jest niuton, a jednostką drogi – metr, zatem jednostką pracy jest iloczyn 1 N i 1 m. Jednostka ta nazywa się dżulem (symbol $J$ , na cześć angielskiego fizyka Jamesa Joule’a):

$1\, J=1\, N\cdot1\, m=1\frac{kg\cdot m^{2}}{s^{2}}$

Praca

Praca $\Delta W$ jest równa iloczynowi wartości siły $F$ , przesunięcia $\Delta s$ i kosinusa kąta $\alpha$ między siłą a przesunięciem $\Delta s$ :

$\Delta W=F\Delta s\cos\alpha$

Jednostka pracy – dżul $(J)$ : $1\, J=1\, N\cdot1\, m$ .

Praca jest wielkością niemającą kierunku – jest skalarem. Ale siła i przesunięcie mają określone kierunki i są wektorami. Wielkość skalarna, która powstaje w wyniku skalarnego mnożenia dwóch wektorów, nazywa się iloczynem skalarnym wektorów. Iloczyn skalarny dwóch wektorów $\vec{a}$ i $\vec{b}$ tworzących kąt $\alpha$ zapisujemy symbolicznie jako $\vec{a}\cdot\vec{b}$ , a jego wartość wyraża się za pomocą wzoru:

$\vec{a}\cdot\vec{b}=ab\cos\alpha$

( 3.3 )

Wzór na pracę (3.2) ma postać iloczynu skalarnego dwóch wektorów $\vec{F}$ i $\Delta\vec{s}$ . Zatem:

$\Delta W=\vec{F}\cdot\Delta\vec{s}$

( 3.4 )

Przykład 1

Chłopiec ciągnie sanki po poziomej drodze siłą $F=20N$ skierowaną poziomo. Jaką pracę wykona chłopiec, ciągnąc sanki na drodze $s=200\, m$ ?

Rozwiązanie: Praca $\Delta W=Fs\cos\alpha$ , czyli $W=20\, N\cdot200\, m\cdot\cos0^{\circ}=4\,000\, N\cdot m\cdot1=4\, kJ$ .

Chłopiec wykona pracę równą 4 kJ.

Przykład 2

Chłopiec ciągnie sanki po poziomej drodze siłą $F=20\, N$ skierowaną pod kątem $\alpha=60^{\circ}$ do poziomu (il. 3.2). Jaką pracę wykona chłopiec, ciągnąc sanki na drodze $s=200\, m$ ?

Rozwiązanie: Praca $\Delta W=Fs\cos\alpha$ , czyli $W=20\, N\cdot200\, m\cdot\cos60^{\circ}=2\,000\, N\cdot m=2\, kJ$ .

Chłopiec wykona pracę równą 2 kJ.

Przykład 3

Kierowca włączył hamulce. Hamująca siła tarcia wynosi $T=5\,000\, N$ , droga hamowania wynosi $s=50\, m$ . Oblicz pracę siły tarcia.

Rozwiązanie: Praca $W=Ts\cos\alpha$ , czyli $W=20\, N\cdot200\, m\cdot\cos0^{\circ}=4\,000\, N\cdot m\cdot1=4\, kJ$ .

Praca siły tarcia wynosi -250 kJ.

Przykład 4

Ziemia okrąża Słońce po orbicie zbliżonej do kołowej pod wpływem siły dośrodkowej pochodzącej od pola grawitacyjnego Słońca. Czy pole grawitacyjne wykonuje pracę?

Rozwiązanie: Siła dośrodkowa – grawitacji w ruchu kołowym – nie wykonuje pracy, ponieważ działa pod katem $\alpha=90^{\circ}$ do przemieszczenia Ziemi w jej ruchu po okręgu: $\Delta W=F\Delta s\cos90^{\circ}$

Praca rozciągania sprężyny

Rozważmy teraz przypadek obliczenia pracy, gdy siła nie jest stała na drodze swojego działania. Obliczymy pracę, jaką należy wykonać, aby, rozciągając sprężynę, zwiększyć jej długość o odcinek $x$ (il. 3.3). Podczas rozciągania sprężyny trzeba działać siłą $F$ równą sile sprężystości sprężyny, lecz przeciwnie zwróconą. Siła sprężystości sprężyny jest proporcjonalna do wydłużenia sprężyny $x$ i wyraża się za pomocą wzoru $\vec{F}_{s}=-k\vec{x}$ , gdzie $k$ jest współczynnikiem proporcjonalności, zwanym współczynnikiem sprężystości sprężyny (wartość $k$ zależy od materiału, z jakiego została wykonana sprężyna, oraz od rozmiarów sprężyny). Widzimy więc, że siła wykonująca pracę jest skierowana wzdłuż drogi, ale nie ma stałej wartości na tej drodze

$F=kx$

Ilustracja 3.3. **Praca rozciągania sprężyny**

Zgodnie z tym, co podano powyżej, aby obliczyć pracę, należy wziąć wartość średnią siły na drodze $x$ . Średnia siła wyraża się tu za pomocą średniej arytmetycznej z dwóch wartości siły – początkowej $F_{0}=0$ i końcowej $F_{k}=kx$ (ponieważ zależność siły od wydłużenia $x$ sprężyny jest zależnością liniową).

Zatem:

$F_{\acute{s}r}=\frac{F_{0}+F_{k}}{2}=\frac{kx}{2}$

Wobec tego praca rozciągnięcia sprężyny na drodze $x$ wyniesie $W=\frac{kx}{2}\cdot x$ lub

$W=\frac{kx^{2}}{2}$

( 3.5 )

Przy obliczaniu pracy w przypadkach, gdy siła działająca wzdłuż drogi nie jest stała, wygodnie jest posługiwać się wykresem zależności siły od przesunięcia. Na il. 3.4a przedstawiono wykres dla stałej siły. Widzimy, że pracę $W=Fs$ można liczbowo wyrazić za pomocą pola powierzchni prostokąta, którego podstawą jest przesunięcie $s$ , a wysokością – siła $F$ . Na il. 3.4b przedstawiono wykres siły zmiennej liniowo, działającej na sprężynę podczas jej rozciągania.

Również w tym przypadku, mimo że siła nie jest stała, praca jest wyrażona przez pole figury pod wykresem zależności siły od przesunięcia. Łatwo można to wykazać. Pole takie można przedstawić jako sumę pól wąskich pasków (jeden pasek jest zaznaczony na il. 3.4a). Przy małym przesunięciu $x$ siła zmienia się nieznacznie, czyli jest stała z małym błędem. Zatem pole paska oznacza pracę wykonaną przez siłę na tym odcinku: $\Delta W=F\Delta x$ . Suma tych małych prac jest równa pracy wykonanej na całej drodze $x$ . Całe pole pod linią $F=kx$ jest równe sumie małych pól tych wąskich pasków z tym większą dokładnością, im węższe paski były brane pod uwagę. Odcinki $\Delta x$ można uczynić dowolnie małymi, zatem całe pole pod wykresem siły jest miarą wartości pracy wykonanej na tej drodze.

Ilustracja 3.4. **Wykres zależności siły od przesunięcia**

a) przy stałej sile równoległej do przesunięcia, pracę $W=Fs$ wyznacza pole powierzchni prostokąta, b) gdy siła jest równoległa do przesunięcia, ale ma wartość zmienną, całkowita praca jest sumą małych prac na małych przesunięciach $\Delta x$ – jest więc równa polu powierzchni pod wykresem zależności siły od przesunięcia $x$ , c) praca, wyznaczona polem powierzchni trójkąta, jest równa pracy stałej siły – średniej; pole powierzchni trójkąta $A B C$ jest równe polu powierzchni prostokąta $A D E C$

Rozumowanie powyższe jest prawdziwe również w ogólnym przypadku, nawet wtedy, gdy siła równoległa do przesunięcia zmienia się w dowolny sposób wzdłuż drogi (podobne rozumowanie przedstawiliśmy w rozdziale 1.4. Ruch jednostajnie przyspieszony dla przypadku, gdy pole pod wykresem zależności prędkości od czasu reprezentowało drogę).

W przypadku rozciągania sprężyny pole pod wykresem zależności siły $F$ od przesunięcia $x$ jest polem trójkąta $A B C$ – il. 3.4c. Pole to jest równe polu prostokąta $A D E C$ utworzonego przez linię odpowiadającą sile średniej (średniej arytmetycznej) $F_{\acute{s}r}$ działającej na sprężynę na drodze $x$ .

Pytania i problemy

Przedstaw wyrażenie definiujące pracę.
Jak nazywa się jednostka pracy w układzie SI? Wyraź tę jednostkę za pomocą jednostek podstawowych.
Wyjaśnij, dlaczego nie można stosować wzoru (3.2) w celu obliczenia pracy w przypadku, gdy wartość siły zmienia się w czasie przesuwania ciała. W jaki sposób można w takim przypadku obliczyć pracę?
Sprężyna została wydłużona o odcinek $\Delta x=x_{2}-x_{1}$ . W jaki sposób postąpisz, by za pomocą wykresu zależności siły od wydłużenia sprężyny obliczyć pracę potrzebną do rozciągnięcia sprężyny?
Chłopiec pcha sanki (il. 3.5) po poziomej drodze siłą F=30N skierowaną pod kątem α=60° do poziomu. Sanki poruszają się ruchem jednostajnym.

Ilustracja 3.5. Chłopiec pcha sanki na poziomej drodze
1. Jaką pracę wykona chłopiec, pchając sanki na drodze $s=100\, m$ ?
2. Ile wynosi siła tarcia sanek o podłoże?