4.5. Środek ciężkości i środek masy

Pojęcie środka masy jest bardzo użyteczne, gdyż – jak się przekonamy – pozwala na uproszczenie opisu ruchu postępowego układu składającego się z wielu ciał. Zamiast rozpatrywać poszczególne ruchy dużej liczby ciał, wystarczy w wielu przypadkach rozważyć jedynie ruch jednego punktu będącego środkiem masy układu tych ciał. Pojęcie środka masy stosuje się również do bryły sztywnej. Dzięki zastosowaniu tego pojęcia skomplikowany ruch bryły można prosto opisać jako złożenie ruchu postępowego punktu materialnego i obrotu nieruchomej bryły. Pojęcie środka masy najłatwiej można wyjaśnić, rozważając bliskie mu pojęcie środka ciężkości.

Środek ciężkości

W przykładzie (Przykład 5) wyznaczyliśmy położenie punktu stabilnego podparcia sztywnego pręta, na którego końcach znajdują się dwa ciężary o masach $m_{1}$ i $m_{2}$ (il. 4.22). Warunek równowagi wymaga, aby suma momentów sił ciężkości względem osi przechodzącej przez punkt stabilnego podparcia była równa zeru:

M_{1}+M_{2}=F_{2}l_{2}-F_{1}l_{1}=m_{2}gl_{2}-m_{1}gl_{1}=0

Stąd:

\frac{l_{1}}{l_{2}}=\frac{m_{2}}{m_{1}}

Taki warunek równowagi występuje w jednorodnym polu sił ciężkości w dowolnym przypadku dwóch punktowych ciał o masach $m_{1}$ i $m_{2}$ odległych od siebie o $l$ – il. 4.23.

Można wykazać, że punkt zaczepienia wypadkowej sił ciężkości przypada właśnie w punkcie $S$ , który dzieli odcinek $l$ zgodnie z powyższym warunkiem. Dlatego punkt $S$ nazywamy środkiem ciężkości dwóch ciał.

Pojęcie środka ciężkości stosuje się nie tylko do dwóch ciał, ale również do układu wielu ciał i do brył sztywnych. Zatem:

W przypadku brył jednorodnych położenie środka ciężkości pokrywa się ze środkiem geometrycznym symetrycznej bryły. Na przykład, środek ciężkości jednorodnej kuli znajduje się dokładnie w środku tej kuli. To samo dotyczy jednorodnych ciał w kształcie walca, sześcianu, równoległościanu itp. – ich środki ciężkości pokrywają się ze środkami geometrycznymi.

Ilustracja 4.23. **Środek ciężkości dwóch ciał o masach $m_{1}$ i $m_{2}$**

Znajduje się on w punkcie $S$ , dzielącym odcinek $l$ na dwa odcinki $l_{1}$ i $l_{2}$ , w stosunku $l_{1}/l_{2}=m_{2}/m_{1}$

Rodzaje równowagi

Jak już wspomniano, równowaga bryły będzie utrzymana wtedy, gdy punkt przyłożenia siły przeciwnej do siły grawitacji – równoważącej tę grawitację – będzie znajdował się w środku ciężkości. Taki punkt nazywaliśmy dotąd punktem stabilnego podparcia. Równowaga może być osiągnięta również w przypadkach, gdy punkt podparcia ciała będzie znajdował się dokładnie nad lub pod środkiem ciężkości. W związku z tym rozróżniamy następujące rodzaje równowagi:

Równowaga obojętna
Punkt zawieszenia pokrywa się ze środkiem ciężkości (il. 4.24). Obrót ciała nie zmienia położenia środka ciężkości, jego energia potencjalna nie zmienia się. Zatem nie wymaga ono pracy i ciało pozostaje w nowym położeniu równowagi.

Ilustracja 4.24. Punkt zawieszenia znajduje się w środku ciężkości $S$

a) ciało znajduje się w równowadze, b) po wychyleniu ciało w dalszym ciągu znajduje się w równowadze
Równowaga trwała
Ciało znajduje się w równowadze trwałej, gdy punkt przyłożenia siły (zawieszenia) znajduje się nad środkiem ciężkości (il. 4.25a) na linii pionowej. Wychylenie ciała (il. 4.25b) powoduje wytrącenie ze stanu równowagi. Pojawia się moment siły sprowadzający ciało do położenia wyjściowego. Należy zauważyć, że wychylenie ciała podnosi jego środek ciężkości, zatem energia potencjalna ciała wzrasta. Ciało ma najmniejszą energię potencjalną w położeniu równowagi (il. 4.25a).

Ilustracja 4.25. Punkt zawieszenia znajduje się nad środkiem ciężkości $S$

a) ciało znajduje się w równowadze, b) po wychyleniu ciało powraca do stanu równowagi
Równowaga chwiejna
Ciało znajduje się w równowadze chwiejnej, gdy punkt przyłożenia siły (podparcia) znajduje się pod środkiem ciężkości (il. 4.26a) na linii pionowej. Wychylenie ciała (il. 4.26b) powoduje wytrącenie ze stanu równowagi. Pojawia się moment siły odchylający ciało dalej od położenia wyjściowego. Teraz wychylenie ciała obniża jego środek ciężkości, zatem energia potencjalna ciała maleje. Ciało ma największą energię potencjalną w położeniu pierwotnym (il. 4.26a).

Ilustracja 4.26. Punkt podparcia znajduje się pod środkiem ciężkości $S$

a) ciało znajduje się w równowadze chwiejnej, b) po wychyleniu ciało wychyla się dalej

Środek masy

Środek masy jest pojęciem ogólniejszym od pojęcia środka ciężkości, gdyż ciało ma środek masy zawsze niezależnie od tego, czy znajduje się, czy nie, w polu ciężkości. W przybliżeniu można przyjąć, że środek masy ciała znajduje się w tym samym miejscu, co środek ciężkości. Takie przybliżenie jest tym bardziej uzasadnione, im rozmiary ciała są mniejsze w porównaniu z rozmiarami Ziemi i odległością tego ciała od jej środka. Położenie środka masy wyznacza się za pomocą wzorów podobnych do wzorów określających położenie środka ciężkości.

Ilustracja 4.27. **Położenie środka masy między dwoma ciałami**

Rozważmy dwa jednorodne ciała o masach $m_{1}$ i $m_{2}$ położone na osi $x$ w odległości $x_{1}$ i $x_{2}$ od punktu $O$ , odległe od siebie o $l=x_{2}-x_{1}$ (il. 4.27). Punkt $S$ , który dzieli odcinek $l$ w stosunku odwrotnie proporcjonalnym do mas tych ciał, nazywamy środkiem masy układu dwóch ciał (punktów materialnych). Zatem:

\frac{l_{1}}{l_{2}}=\frac{m_{2}}{m_{1}}

( 4.36 )

W szczególnym przypadku, gdy masy obydwu ciał są sobie równe, czyli $m_{1}=m_{2}$ , ze wzoru (4.36) wynika, że $l_{1}=l_{2}$ , to znaczy, że środek masy znajduje się w połowie odcinka łączącego obydwa ciała.

Jeżeli przez $x_{s}$ oznaczymy współrzędną środka masy, to $l_{1}=\left(x_{s}-x_{1}\right)$ , $l_{2}=\left(x_{2}-x_{s}\right)$ i po wymnożeniu „na krzyż” równania (4.36) mamy:

m_{1}\left(x_{s}-x_{1}\right)=m_{2}\left(x_{2}-x_{s}\right)

skąd po prostych przekształceniach otrzymamy wzór na współrzędną środka masy:

x_{s}=\frac{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}

( 4.37 )

Wzór ten łatwo daje się uogólnić dla układu wielu, $n$ , punktów materialnych:

x_{s}=\frac{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}+...+m_{n}x_{n}}{m_{1}+m_{2}+...+m_{n}}

( 4.38 )

W celu określenia położenia środka masy w przestrzeni należy podać wszystkie trzy współrzędne. Współrzędne $y_{s}$ i $z_{s}$ wyrażamy analogicznie do wzoru na $x_{s}$ .

Pojęcie środka masy stosuje się nie tylko do układu wielu punktów materialnych, ale również do pojedynczych ciał o dowolnym kształcie. Aby znaleźć położenie środka masy, należy w takim przypadku podzielić ciało na małe części i zastosować wzór analogiczny do (4.38), w którym masy i współrzędne odnoszą się do poszczególnych części ciała. Dla ciał o kształtach wykazujących dużą symetrię wyznaczenie środka masy jest proste. W przypadku ciał jednorodnych położenie środka masy pokrywa się ze środkiem geometrycznym symetrycznej bryły (co omówiliśmy powyżej, rozważając położenie środka ciężkości).

Środek masy może być w spoczynku lub poruszać się podczas ruchu poszczególnych ciał układu. Zapytajmy, jaka jest prędkość środka masy $v_{s}$ , gdy znane są prędkości i masy ciał układu.

Zapisując równanie (4.38) dla dwóch różnych chwil i odejmując je od siebie stronami, otrzymamy:

\Delta x_{s}=\frac{m_{1}\Delta x_{1}+m_{2}\Delta x_{2}+...+m_{n}\Delta x_{n}}{m_{1}+m_{2}+...+m_{n}}

Po podzieleniu obu stron przez $\Delta t=t_{2}-t_{1}$ i uwzględnieniu prędkości środka masy $v_{s}=\frac{\Delta s_{s}}{\Delta t}$ oraz prędkości poszczególnych ciał: $v_{1}=\frac{\Delta x_{1}}{\Delta t}$ , $v_{2}=\frac{\Delta x_{2}}{\Delta t}$ itd., otrzymamy:

v_{s}=\frac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}+...+m_{n}v_{n}}{m_{1}+m_{2}+...+m_{n}}

( 4.39 )

Wzór ten jest słuszny również w zapisie wektorowym:

\vec{v}_{s}=\frac{m_{1}\vec{v}_{1}+m_{2}\vec{v}_{2}+...+m_{n}\vec{v}_{n}}{m_{1}+m_{2}+...+m_{n}}

( 4.40 )

Widzimy, że w liczniku tego wzoru występuje sumaryczny pęd całego układu, a w mianowniku – sumaryczna masa $M$ całego układu, więc:

\vec{v}_{s}=\frac{\vec{p}}{M}

( 4.41 )

Zatem prędkość środka masy jest zdeterminowana przez pęd całego układu. W przypadku gdy układ jest odosobniony, jego całkowity pęd jest stały i wtedy prędkość środka masy jest również stała co do wartości i co do kierunku, czyli środek masy porusza się ruchem bezwładnym, niezależnie od tego, jak poruszają się części składowe układu. Na układ odosobniony nie działają siły zewnętrzne. Widzimy zatem, że siły wewnętrzne nie wpływają na ruch środka masy.

Jak zachowuje się środek masy, gdy na układ działają siły zewnętrzne? Środek masy uzyskuje wtedy przyśpieszenie $\vec{a}_{s}$ , które można obliczyć z drugiej zasady dynamiki Newtona:

\vec{F}=M\vec{a}_{s}

( 4.42 )

gdzie $\vec{F}$ oznacza sumę (wektorową) zewnętrznych sił działających na wszystkie ciała układu. Zatem, środek masy układu zachowuje się tak, jak gdyby cała masa układu znajdowała się w punkcie środka masy i jak gdyby wszystkie siły działające na ciała układu były przyłożone do tego punktu. Treść powyższego stwierdzenia służy do bardziej precyzyjnej definicji środka masy:

W szczególnym przypadku, gdy siły zewnętrzne nie działają na układ, $\vec{F}=0$ i przyspieszenie środka masy jest równe zeru $\vec{a}_{s}=0$ , czyli $\vec{v}_{s}=const$ . Jest to przypadek wcześniej omówiony.

Druga zasada dynamiki Newtona dla środka masy:

\vec{F}=M\vec{a}_{s}

( 4.43 )

gdzie $\vec{F}$ wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ, $\vec{a}_{s}$ – przyśpieszenie środka masy, $M$ – całkowita masa układu.

Prawo wyrażone wzorem (4.43) udowodnimy dla układu składającego się z dwóch ciał. Zapiszemy dwa równania (4.40) dla dwóch różnych chwil $t^{'}$ i $t^{''}$ :

\vec{v}_{s}^{'}=\frac{m_{1}\vec{v}_{1}^{'}+m_{2}\vec{v}_{2}^{'}}{m_{1}+m_{2}}

\vec{v}_{s}^{''}=\frac{m_{1}\vec{v}_{1}^{''}+m_{2}\vec{v}_{2}^{''}}{m_{1}+m_{2}}

Odejmując je stronami, otrzymamy:

\vec{v}_{s}^{''}-\vec{v}_{s}^{'}=\frac{m_{1}\vec{v}_{1}^{''}+m_{2}\vec{v}_{2}^{''}}{m_{1}+m_{2}}-\frac{m_{1}\vec{v}_{1}^{'}+m_{2}\vec{v}_{2}^{'}}{m_{1}+m_{2}}=\frac{m_{1}\left(\vec{v}_{1}^{''}-\vec{v}_{1}^{'}\right)+m_{2}\left(\vec{v}_{2}^{''}-\vec{v}_{2}^{'}\right)}{m_{1}+m_{2}}=\frac{m_{1}\Delta\vec{v}_{1}+m_{2}\Delta\vec{v}_{2}}{m_{1}+m_{2}}

Zatem:

\Delta\vec{v}_{s}=\frac{m_{1}\Delta\vec{v}_{1}+m_{2}\Delta\vec{v}_{2}}{m_{1}+m_{2}}

( 4.44 )

Stąd:

\left(m_{1}+m_{2}\right)\Delta\vec{v}_{s}=m_{1}\Delta\vec{v}_{1}+m_{2}\Delta\vec{v}_{2}

Po podzieleniu obu stron przez $\Delta t=t'-t''$ otrzymamy:

\left(m_{1}+m_{2}\right)\frac{\Delta\vec{v}_{s}}{\Delta t}=m_{1}\frac{\Delta\vec{v}_{1}}{\Delta t}+m_{2}\frac{\Delta\vec{v}_{2}}{\Delta t}

( 4.45 )

Po prawej stronie tego równania występują wyrażenia:

m_{1}\frac{\Delta\vec{v}_{1}}{\Delta t}=m_{1}\vec{a}_{1}

(gdzie $\vec{a}_{1}$ jest przyspieszeniem ciała „1”) oraz:

m_{2}\frac{\Delta\vec{v}_{2}}{\Delta t}=m_{2}\vec{a}_{2}

$\vec{a}_{2}$ jest przyspieszeniem ciała „2”). Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona iloczyny te są równe wypadkowym siłom działającym na ciała „1” i „2”. Na każde ciało działają zarówno siły wewnętrzne $\vec{f}_{1}$ i $\vec{f}_{2}$ , jak i zewnętrzne $\vec{F}_{1}$ i $\vec{F}_{2}$ , więc:

m_{1}\vec{a}_{1}=\vec{f}_{1}+\vec{F}_{1}

oraz:

m_{2}\vec{a}_{2}=\vec{f}_{2}+\vec{F}_{2}

Po podstawieniu tych wyrażeń do wzoru (4.45) oraz uwzględnieniu, że $\frac{\Delta\vec{v}_{s}}{\Delta t}=\vec{a}_{s}$ (gdzie $\vec{a}_{s}$ oznacza przyspieszenie środka masy), otrzymamy:

\left(m_{1}+m_{2}\right)\vec{a}_{s}=\vec{f}_{1}+\vec{F}_{1}+\vec{f}_{2}+\vec{F}_{2}

Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona, siły $\vec{f}_{1}$ i $\vec{f}_{2}$ są sobie równe, lecz przeciwnie zwrócone, ponieważ są siłami wewnętrznymi wzajemnego oddziaływania ciał $A$ i $B$ , czyli $\vec{f}_{1}+\vec{f}_{2}=0$ . Ostatecznie otrzymamy:

\left(m_{1}+m_{2}\right)\vec{a}_{s}=\vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}

( 4.46 )

Wzór ten wyraża zasadę ruchu środka masy dla układu dwóch ciał i łatwo daje się uogólnić; jest on zgodny ze wzorem (4.43). Zatem wykazaliśmy w szczególnym przypadku prawdziwość twierdzenia o środku masy.

Przykład 6

Granat leci poziomo. W pewnej chwili granat wybucha, odłamki rozlatują się w różnych kierunkach, ale środek masy wszystkich odłamków leci w dalszym ciągu tak, jakby nic się nie wydarzyło. To znaczy tak, jak gdyby granat leciał, nie rozrywając się na części. Dzieje się tak dlatego, że (zaniedbując opór powietrza) w czasie wybuchu na odłamki granatu działają siły wewnętrzne, a siły wewnętrzne nie wpływają na ruch środka masy układu (ich suma wektorowa jest równa zeru).

Animacja — Ilustracja 4.29. **Zobacz film ->**

Eksplodujący granat: środek masy porusza się jednakowo mimo eksplozji

Przykład 7

Człowiek przechodzi z rufy łódki na dziób. Na jaką odległość łódka przemieści się na jeziorze? Masa łódki $M=100 kg$ , a jej długość $l=5 m$ . Masa człowieka $m=75 kg$ .

Rozwiązanie: Układ łódka–człowiek możemy traktować jako układ odosobniony, ponieważ siły tarcia między łódką a wodą są bardzo małe. Zatem środek masy układu pozostaje w spoczynku, mimo że człowiek i łódka przemieszczają się (il. 4.31). Środek masy łódki znajduje się w połowie długości łódki, w odległości $\frac{l}{2}$ od rufy i dziobu.

Ilustracja 4.31. **Środek masy układu łódka–człowiek pozostaje w spoczynku mimo ruchu człowieka**

Środek masy $S$ układu dzieli odcinek o długości $\frac{l}{2}$ na dwa odcinki $l_{1}$ i $l_{2}$ w stosunku odwrotnie proporcjonalnym do mas $M$ i $m$ . Możemy zatem napisać równania:

\frac{l_{1}}{l_{2}}=\frac{m}{M},\qquad l_{1}+l_{2}=\frac{l}{2}

Stąd po wyeliminowaniu $l_{2}$ otrzymujemy:

l_{1}=\frac{m}{2\left(m+M\right)}l

Patrząc na il. 4.31, widzimy, że przemieszczenie środka masy łódki (punkt $O$ na rysunku) wynosi $2l_{1}$ i takie samo jest przemieszczenie każdego innego punktu łódki względem jeziora, czyli przemieszczenie łódki wynosi:

x=\frac{m}{m+M}l

Zatem:

x=\frac{75\, kg}{100\, kg+75\, kg}\cdot5\, m=2,14\, m

Pytania i problemy

Podaj wzór na współrzędną $x_{s}$ środka masy trzech punktów materialnych o masach $m_{1}$ , $m_{2}$ , $m_{3}$ i współrzędnych $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ .
Układ odosobniony składa się z trzech ciał o masach $m_{1}=1 kg$ , $m_{2}=2 kg$ , $m_{3}=2 kg$ i prędkościach $v_{1}=1 m/s$ , $v_{2}=2 m/s$ , $v_{3}=-1 m/s$ . Ciała te są rozmieszczone na wspólnej prostej i przemieszczają się wzdłuż niej. Oblicz prędkość środka masy tego układu.
Opisz zachowanie środka masy układu, na który działa siła zewnętrzna.
Po przeczytaniu rozwiązania przykładu 7. (Przykład 7), uczeń stwierdził, że jest ono błędne. „Skoro masy człowieka i łódki mają się do siebie jak 3:4”, rozumował uczeń, „to przebyte przez człowieka i łódkę drogi – w braku sił zewnętrznych – powinny się mieć do siebie jak 4:3. Człowiek, zgodnie z treścią zadania, przebył drogę równą długości łódki, czyli 5 m, więc łódka powinna się przemieścić o 3,75 m”. Wskaż usterkę w rozumowaniu ucznia.
Rozważ, jaką pracę należy wykonać, aby leżący na ziemi jednorodny słup o długości 10 m i o masie 100 kg postawić pionowo. Uwaga: Środek masy jednorodnego słupa leży w jego środku geometrycznym.
Jednorodny blok o masie 17 000 kg w kształcie prostopadłościanu ma wymiary krawędzi: a = 2 m , b = 1 m , c = 1,5 m (il. 4.32).
1. Oblicz energię potencjalną bloku w przypadku, gdy leży on na poziomym podłożu na ściance bocznej o wymiarach $a\cdot b$ .
2. Jaką pracę wykona dźwig, stawiając blok na ściance o wymiarach $c\cdot b$ tak, aby krawędź $a$ była pionowa?
Ilustracja 4.32. Jednorodny blok prostopadłościenny

Uwaga: Środek masy jednorodnego prostopadłościennego bloku leży w jego środku geometrycznym.