1.11. Wektor prędkości

Wektor prędkości i jego współrzędne

Rozważmy najpierw przypadek, gdy ruch punktu materialnego odbywa się po prostej. Niech w chwili $t_{1}$ punkt materialny znajduje się w miejscu wyznaczonym przez wektor wodzący $\vec{r}_{1}$ , w chwili $t_{2}$ – przez $\vec{r}_{2}$ (il. 1.41). Wektor przemieszczenia wynosi:

\Delta\vec{r}=\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}

Wyznacza on (w sytuacji ruchu po prostej) drogę punktu materialnego przebytą w czasie $\Delta t=t_{2}-t_{1}$ . Zatem prędkość średnia określona wzorem:

\vec{v}_{\acute{s}r}=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}

( 1.40 )

jest oczywiście wektorem, ponieważ dzielenie wektora $\Delta\vec{r}$ przez skalar $\Delta t$ jest innym wektorem, którego kierunek i zwrot jest zgodny z wektorem przemieszczenia (il. 1.41).

Ilustracja 1.41. **Wektory w ruchu prostoliniowym**

W przypadku ruchu prostoliniowego kierunek i zwrot wektora prędkości są takie same, jak kierunek i zwrot wektora przemieszczenia

Wektor prędkości chwilowej

Prędkość chwilowa określona w bardzo krótkim przedziale czasu $\Delta t$ :

\vec{v}=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}

( 1.41 )

jest także wektorem, który w ogólnym przypadku ruchu krzywoliniowego jest styczny do toru (il. 1.42).

Twierdzenie to można uogólnić i wyrazić następująco:

Wektor prędkości chwilowej

\vec{v}=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}

określony w bardzo krótkim czasie $\Delta t$ , jest zawsze styczny do toru.

Składanie prędkości

Aby wyjaśnić sposób dodawania prędkości, rozważymy ponownie ruch człowieka i platformy. Jak stwierdziliśmy wcześniej, kierunek i zwrot wektora prędkości są identyczne z kierunkiem i zwrotem wektora przesunięcia. Stąd wynika, że wektory prędkości będą dodawały się tak samo jak wektory przesunięcia. Zatem, jeżeli człowiek porusza się z prędkością $\vec{v}_{1}$ względem platformy, a platforma porusza się z prędkością $\vec{v}_{2}$ względem ziemi, to wypadkowa prędkość człowieka względem ziemi wynosi (patrz il. 1.43):

\vec{v}=\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}

( 1.42 )

Ilustracja 1.43. **Dodawanie prędkości człowieka względem platformy $\vec{v}_{1}$ i platformy względem ziemi $\vec{v}_{2}$**

Obowiązuje tu reguła dodawania wektorów, która jest słuszna w ogólnym przypadku, a więc również w przypadku, gdy prędkość człowieka jest skierowana pod dowolnym kątem $\alpha$ do wektora prędkości platformy (il. 1.44). Wzór (1.42) wyraża prawo dodawania prędkości w postaci wektorowej.

Ilustracja 1.44. **Dodawanie prędkości człowieka $\vec{v}_{1}$ i platformy $\vec{v}_{2}$**

Przykład 9

Między punktami $A$ i $B$ na rzece, odległymi od siebie o $l=10\, km$ , kursuje statek, który ma stałą prędkość $\vec{v}_{s}$ względem wody. Oblicz wartości prędkości statku $v_{s}$ oraz prędkości prądu wody w rzece $v_{p}$ , jeżeli wiadomo, że statek, płynąc w górę rzeki, pokonuje tę odległość w czasie $t_{1}=1\, h$ , natomiast w dół rzeki – w czasie $t_{2}=0,5\, h$ .

Rozwiązanie: Wektory prędkości statku i prądu rzeki są równoległe, choć mają przeciwne zwroty, gdy statek płynie pod prąd (w górę rzeki), zaś zgodne zwroty, gdy płynie z prądem. Tak więc, choć wektory prędkości statku względem brzegu wyrażają się podobnymi wzorami, to wartości tych wektorów są różne:

$\vec{v}_{1}=\vec{v}_{s}+\vec{v}_{p}$ (podróż pod prąd); ale $v_{1}=v_{s}-v_{p}$ (bo $\vec{v}_{s}$ i $\vec{v}_{p}$ mają przeciwne zwroty);

$\vec{v}_{2}=\vec{v}_{s}-\vec{v}_{p}$ (podróż z prądem); ale $v_{2}=v_{s}+v_{p}$ (bo $\vec{v}_{s}$ i $\vec{v}_{p}$ mają zgodne zwroty).

Przedstawia to (il. 1.45).

Ilustracja 1.45. **Składanie prędkości statku i rzeki**

a) statek płynie w górę rzeki – wektory prędkości statku i prądu rzeki się odejmują, b) statek płynie w dół rzeki – wektory prędkości statku i prądu rzeki się dodają

Natomiast $v_{1}=\frac{l}{t_{1}}$ i $v_{2}=\frac{l}{t_{2}}$ . Mamy więc:

\frac{l}{t_{1}}=v_{s}-v_{p}

oraz:

\frac{l}{t_{2}}=v_{s}+v_{p}

Sumując te dwa równania stronami, wyeliminujemy $v_{p}$ . Otrzymamy:

2v_{s}=\frac{l}{t_{1}}+\frac{l}{t_{2}}

Stąd:

v_{s}=\frac{l\left(t_{1}+t_{2}\right)}{2t_{1}t_{2}}\qquad v_{p}=\frac{l\left(t_{1}-t_{2}\right)}{2t_{1}t_{2}}

Po podstawieniu wartości liczbowych, obliczymy, że prędkość statku względem wody $v_{s}=15\, km/h$ , zaś prędkość prądu rzeki $v_{p}=5\, km/h$ .

Przykład 10

Przy przeprawianiu przez rzekę łódź startuje z punktu $O$ i kieruje się cały czas pod kątem $\alpha=60^{\circ}$ do linii brzegu, pod prąd rzeki (il. 1.46). Oblicz, na jaką odległość $l$ od punktu $A$ rzeka zniesie łódź. Szerokość rzeki wynosi $d=100\, m$ , prędkość łodzi względem wody $v_{l}=1,2\, m/s$ , a prędkość prądu rzeki $v_{p}=0,8\, m/s$ . Pod jakim kątem należy kierować łódź, aby przybiła do brzegu w punkcie $A$ ?

Rozwiązanie: Obierzmy układ współrzędnych $O_{xy}$ i zrzutujmy na osie prędkość łodzi (il. 1.46); otrzymamy wartości:

v_{lx}=v_{l}\cos\alpha

v_{ly}=v_{l}\sin\alpha

Ilustracja 1.46. **Przeprawa łodzi przez rzekę**

Ilustracja 1.47. **Rozkład wektora prędkości łodzi $v_{l}$**

Wektor wypadkowy prędkości ma składowe: $v_{x}=v_{p}-v_{lx}$ , $v_{y}=v_{ly}$

Wypadkowa prędkość łodzi w kierunku osi $x$ wynika z nałożenia się prędkości prądu rzeki $v_{p}$ i składowej $x$ -owej prędkości łodzi $v_{lx}$ , czyli:

v_{x}=v_{p}-v_{lx}=v_{p}-v_{l}\cos\alpha

Natomiast w kierunku osi

y

prędkość wypadkowa łodzi:

v_{y}=v_{ly}=v_{l}\sin\alpha

Odległość

l

wyznaczymy z trójkąta

O A B

l=\frac{d}{\tg\beta}

gdzie

\betta

jest kątem, jaki wektor wypadkowy

\vec{v}

tworzy z osią

x

. Zatem:

\tg\beta=\frac{v_{y}}{v_{x}}=\frac{v_{l}\sin\alpha}{v_{p}-v_{l}\cos\alpha}

więc:

l=d\frac{v_{p}-v_{l}\cos\alpha}{v_{l}\sin\alpha}

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy:

l=100\cdot\frac{0,8-1,2\cdot\cos60^{\circ}}{1,2\cdot\sin60^{\circ}}=19,2\, m

czyli rzeka zniesie łódź na odległość

l=19,2\, m

Kąt $\alpha_{0}$ , pod jakim należy skierować łódź, aby w wyniku unoszenia rzeki dopłynęła prostopadle do brzegu, można otrzymać z ostatniego wzoru na $l$ , przyjmując, że $l=0$ . Wówczas $v_{p}-v_{l}\cos\alpha_{0}=0$ (co oznacza, że składowa $v_{x}=0$ ), zatem:

\cos\alpha_{0}=\frac{v_{p}}{v_{l}}=\frac{0,8}{1,2}=0,66

stąd:

\alpha_{0}\approx48^{\circ}

Gdy łódź będzie skierowana pod kątem

48^{\circ}

do brzegu, to kierunek jej wypadkowego ruchu będzie prostopadły do brzegu.

Pytania i problemy

Podaj definicję wektora prędkości średniej.
Podaj definicję wektora prędkości chwilowej.
Przedstaw na rysunku tor krzywoliniowy ciała i zaznacz wektor prędkości średniej i chwilowej.
Na wybranym przykładzie wyjaśnij zasadę niezależności ruchów.
Sformułuj prawo dodawania prędkości w postaci wektorowej.