3.3. Energia kinetyczna

Energię związaną z ruchem ciała nazywamy energią kinetyczną.

Rozważmy, ile energii ma ciało o masie $m$ , gdy porusza się z prędkością $v$ ? Energię tę możemy wyznaczyć, obliczając pracę, jaką może wykonać ciało. Można podejść do tego zagadnienia odwrotnie – obliczyć pracę siły przyśpieszającej potrzebną do tego, aby ciało nabyło prędkość $v$ . Przyjmijmy, że na spoczywające początkowo ciało działa stała siła $F$ wzdłuż drogi $s$ , która przyśpiesza je, nadając mu stałe przyśpieszenie $a$ . Droga $s$ , jaką przebędzie ciało w czasie $t$ , wynosi:

s=\frac{at^{2}}{2}

Pracę potrzebną do nadania ciału prędkości $v$ ( $v=at$ ) otrzymamy, mnożąc siłę $F$ przez drogę $s$ :

W=Fs=mas=ma\frac{at^{2}}{2}=m\frac{\left(at\right)^{2}}{2}=m\frac{v^{2}}{2}

Zatem, aby rozpędzić ciało początkowo nieruchome, należy wykonać pracę $W=mv^{2}/2$ . Praca ta jest nagromadzona w rozpędzonym ciele i w całości może być w odpowiednich warunkach oddana, czyli ciało ma zdolność do wykonania pracy. Jest to energia kinetyczna ciała. Chociaż wzór ten wyprowadziliśmy dla szczególnego przypadku – rozpędzania ciała przez stałą siłę, to jest on prawdziwy dla dowolnego ciała mającego prędkość $v$ . Energia kinetyczna ciała mającego prędkość $v$ wyraża się więc wzorem:

E_{k}=\frac{mv^{2}}{2}

( 3.9 )

Energia kinetyczna jest wyrażona za pomocą kwadratu prędkości, jest zatem zawsze dodatnia, niezależnie od tego, w którą stronę ciało się porusza. Prędkość jest wektorem, ale kwadrat prędkości jest skalarem (kwadrat wektora jest iloczynem skalarnym dwóch jednakowych wektorów, a iloczyn skalarny wektorów jest skalarem), więc i energia kinetyczna musi być skalarem (bo i masa jest też skalarem, a wielkość będąca iloczynem skalarów musi być też skalarem).

Przykład 5

Ile wynosi energia kinetyczna samochodu o masie $m=1\,000\, kg$ jadącego z prędkością $v=100\, km/h=27,78\, m/s$ ?

Rozwiązanie:

E_{k}=\frac{mv^{2}}{2}=\frac{1\,000\, kg\left(27,78\, m/s\right)^{2}}{2}=385\,864,2\, J\approx386\, kJ

Przykład 6

Ile wynosi energia kinetyczna kuli karabinowej o masie $m=10\, g$ lecącej z prędkością $v=1\,000\, m/s$ ?

Rozwiązanie:

E_{k}=\frac{mv^{2}}{2}=\frac{0,01\, kg\left(1\,000\, m/s\right)^{2}}{2}=5\,000\, J\approx5\, kJ

Wzór na energię kinetyczną $E_{k}=mv^{2}/2$ zawiera prędkość $v$ , która jak wiemy jest wielkością względną – tzn. wartość prędkości zależy od układu, względem którego mierzymy tę prędkość. Zauważmy zatem, że wartość energii kinetycznej ciała zależy od układu odniesienia.

Widzimy więc, że podobnie jak energia potencjalna zależy od położenia poziomu odniesienia, tak energia kinetyczna zależy od układu odniesienia. Podkreślmy jednak istotną różnicę między energią kinetyczną a energią potencjalną: ta pierwsza jest cechą pojedynczego ciała, zależną od jego masy i prędkości, ale niezależną bezpośrednio od tego, czy ciało to oddziałuje z innymi. Tymczasem energia potencjalna jest cechą układu co najmniej dwóch ciał i konkretnego oddziaływania między nimi.

Ilustracja 3.11. **Cięciwa napiętego łuku ma energię (fot. WZ)**

Zwolniona cięciwa wykona pracę, która nadaje prędkość strzale, i strzała uzyskuje energię kinetyczną

Całkowita energia ciała

Szczególna teoria względności przedstawia ciekawe uogólnienie pojęcia energii kinetycznej ciała. W jej ramach wprowadza się energię całkowitą ciała, które nie oddziałuje z innymi obiektami:

E=\frac{mc^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}

( 3.10 )

gdzie m jest masą ciała poruszającego się z prędkością $v$ , $c=3\cdot10^{8}\, m/s$ – prędkość światła.

Z tej relacji wynika, że energia ciała zależy od prędkości $v$ , z jaką się ono porusza w danym układzie odniesienia. W różnych układach ciało ma różną prędkość. Ciało ma najmniejszą energię $E_{0}$ w układzie, w którym spoczywa, czyli ma prędkość $v=0$ . Tę energię:

E_{0}=mc^{2}

( 3.11 )

nazywamy energią spoczynkową ciała.

Wzór (3.11) to słynny wzór Einsteina, który stwierdził, że każde ciało ma energię spoczynkową określoną przez jego masę pomnożoną przez czynnik $c^{2}$ (nie należy mylić tej energii z energią potencjalną związaną z oddziaływaniem z innymi ciałami).

Powiedzieliśmy uprzednio, że ciało ma energię wtedy, kiedy może wykonać pracę. Otóż, gdy ciało porusza się z pewną prędkością, może wykonać pracę, na przykład przeciwko siłom tarcia na drodze hamowania. Zatem ciało będące w ruchu ma energię. Energię związaną z ruchem ciała nazwaliśmy energią kinetyczną.

Relacja (3.10) pozwala na wyznaczenie energii kinetycznej ciała o dowolnej prędkości $0 {mniejsze} v {mniejsze} c$ (wzór (3.9) stosuje się tylko dla małych prędkości $v\ll c$ , co wykażemy później).

Zapytajmy ogólnie, ile energii kinetycznej ma ciało o masie $m$ , gdy porusza się z prędkością $v$ . Stwierdziliśmy, że z określenia energii (3.10) wynika, że energia ciała zależy od jego prędkości $v$ . Zatem energię kinetyczną ciała $E_{k}$ możemy zdefiniować jako różnicę między jego energią całkowitą a energią spoczynkową:

E_{k}=E-E_{0}=\frac{mc^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}-mc^{2}

( 3.12 )

Wzór ten jest dokładny dla całego zakresu prędkości ciała, $0 {mniejsze} v {mniejsze} c$ .

Wzór ten znacznie się uprości, gdy ciało ma małą prędkość w stosunku do prędkości światła, tzn. gdy $v/c\approx0$ . W tym celu przekształcimy wzór (3.12), pomnożymy licznik i mianownik tego wzoru przez $\left(1+\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}\right)$ :

E_{k}=\frac{mc^{2}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}-mc^{2}=mc^{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}-1\right)=mc^{2}\frac{1-\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}

Otrzymamy:

E_{k}=\frac{mc^{2}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}\frac{1-\left(1-v^{2}/c^{2}\right)}{1+\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}=\frac{mv^{2}}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}\frac{1}{1+\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}

( 3.13 )

Dla małych prędkości możemy zaniedbać wyraz $v^{2}/c^{2}$ . Przyjmując, że $v^{2}/c^{2}=0$ , wzór (3.13) uprości się i otrzymamy:

E_{k}=\frac{mv^{2}}{2}

( 3.14 )

Wzór ten jest taki sam jak (3.9).

Wzór ten jest powszechnie stosowany w mechanice newtonowskiej. W przypadkach, z którymi mamy do czynienia w życiu codziennym, wzór ten jest wystarczająco dokładny. Nawet dla prędkości rzędu setek kilometrów na sekundę, daje wartość różniącą się od dokładnego wzoru (3.12) o mniej niż jedną dziesięciotysięczną procenta.

Pytania i problemy

Co to jest energia?
Zdefiniuj pojęcie energii kinetycznej.
Podaj wzór na energię kinetyczną ciała o masie $m$ mającego prędkość $v$ . Wyprowadź ten wzór dla przypadku rozpędzania ciała stałą siłą.
Do jakich wielkości fizycznych – wektorowych, czy skalarnych – należy energia kinetyczna? Odpowiedź uzasadnij.
Pęd kuli karabinowej wynosi $8\, kg\cdot m/s$ , a jej energia kinetyczna ma wartość 3,2 kJ. Wyznacz masę kuli oraz jej prędkość.