4.4. Moment siły

Może zauważyłeś, że drzwi łatwiej można otworzyć, przykładając siłę jak najdalej od zawiasów. Dużo większej siły należy użyć, gdy jest ona przyłożona w pobliżu zawiasów, czyli w pobliżu osi obrotu drzwi. To spostrzeżenie prowadzi do ogólnego wniosku, że do określenia skutków działania siły w przypadku ruchu obrotowego bryły sztywnej (jaką są np. drzwi) nie wystarczy tylko znajomość wartości siły $F$ , ale należy znać również odległość linii kierunku działania siły od osi obrotu, czyli tzw. ramię siły $d$ (il. 4.18). Dlatego wprowadza się pojęcie tzw. momentu siły.

Ilustracja 4.18. Siła $F$ obraca bryłę względem osi prostopadłej do płaszczyzny rysunku, przechodzącej przez punkt $O$ . Ramię siły wynosi $d$

Moment siły względem pewnej osi jest to iloczyn wartości siły $F$ i jej ramienia $d$ :

M=F d

( 4.27 )

Ramię siły $d$ jest najmniejszą odległością między osią obrotu a linią kierunku działania siły. Jednostką momentu siły jest niuton $\cdot$ metr $N\cdot m$ .

Należy zwrócić uwagę, że mimo formalnego podobieństwa jednostka momentu siły, nazywana często niutonometrem, ma inną interpretację niż jednostka pracy i energii, czyli dżul. Ta ostatnia powstaje bowiem jako iloczyn siły i przemieszczenia, w odróżnieniu od iloczynu siły i odległości.

Przyjmuje się umownie, że moment siły ma znak „+”, gdy wywołuje obrót nieruchomej bryły w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, zaś znak „–”, gdy wywołuje obrót w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Kierunek obrotu jest przy tym ustalany z punktu widzenia patrzącego na rysunek czy schemat, na którym zaznaczono działającą siłę.

Praca momentu siły obracającej bryłę sztywną

Wyznaczmy pracę $\Delta W$ siły $F$ obracającej bryłę wokół nieruchomej osi obrotu o kąt $\Delta\alpha$ (il. 4.19). Siła $F$ jest zaczepiona w punkcie $P$ leżącym w odległości $r$ od osi obrotu $O$ , a punkt zaczepienia zakreśla łuk $\Delta s=r\Delta\alpha$ . Przyjmiemy, że kąt $\Delta\alpha$ oraz łuk $\Delta\s$ są na tyle małe, że można uznać w przybliżeniu, że siła $F$ zachowuje stały kierunek.

Praca w naszym przypadku jest równa $\Delta W=F_{s}\Delta s$ . Siła $F_{s}$ jest rzutem siły $F$ na kierunek $\Delta\s$ i wynosi $F_{s}=F\sin\varphi$ , zaś długość łuku $\Delta s=r\Delta\alpha$ , zatem praca siły $F$ przy obrocie bryły o kąt $\Delta\alpha$ wynosi:

\Delta W=Fr\Delta\alpha\sin\varphi

( 4.28 )

Ilustracja 4.19. **Rozkład siły $F$ obracającej bryłę. Ramię siły wynosi $d=r\sin\varphi$**

Siła $F$ obraca bryłę o chwilowy kąt $\Delta\alpha$ względem osi prostopadłej do płaszczyzny rysunku, przechodzącej przez punkt $O$

By pokazać, w jaki sposób praca $\Delta W$ zależy od momentu siły $M$ i kąta obrotu $\Delta\alpha$ , wykorzystamy wzór (4.27) w postaci:

M=Fd=Fr\sin\varphi

( 4.29 )

Po zastosowaniu tego wyrażenia wzór (4.28) przybierze postać:

W=M\Delta\alpha

( 4.30 )

Postać ta jest analogiczna do wzoru (3.1) na pracę siły podczas przesunięcia punktu materialnego na drodze $\Delta\s$ :

$W=F\Delta\s$

Postać ta sugeruje, że wielkościom $M$ i $\Delta\s$ można nadać interpretację wektorową, gdyż siła i przemieszczenie są wielkościami wektorowymi.

Moment siły jako iloczyn wektorowy

Zauważmy, że odległość $r$ pomiędzy osią obrotu bryły a punktem $P$ przyłożenia siły (il. 4.19) można traktować jak wielkość wektorową. Ma ona punkt przyłożenia (punkt $O$ ), wartość równą długości odcinka $OP$ , kierunek taki jak ten odcinek i zwrot od punktu O do punktu P.

Zauważmy dalej, że we wzorach (4.27) oraz (4.29):

M=Fd=Fr\sin\varphi

występuje charakterystyczny iloczyn wartości dwóch wektorów $\vec{F}$ i $\vec{r}$ oraz sinusa kąta zawartego między nimi:

Fr\sin\varphi

Przypomina to nam iloczyn skalarny dwóch wektorów (patrz rozdział 3.1. Praca – wzór (3.3), z tym że tam występował nie sinus, lecz kosinus kąta zawartego między wektorami). Powtórzmy tutaj definicję iloczynu skalarnego:

Wielkość skalarna, która powstaje w wyniku skalarnego mnożenia dwóch wektorów, nazywa się iloczynem skalarnym wektorów. Iloczyn skalarny dwóch wektorów $\vec{a}$ i $\vec{b}$ zapisujemy symbolicznie jako $\vec{a}\cdot\vec{b}$ , a jego wartość wyraża się za pomocą wzoru:

\vec{a}\cdot\vec{b}=ab\cos\alpha

W rachunku wektorowym oprócz iloczynu skalarnego definiuje się jeszcze iloczyn wektorowy. Iloczyn ten można określić następująco:

Iloczynem wektorowym dwóch wektorów $\vec{a}$ i $\vec{b}$ jest wektor $\vec{c}$ ,

\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}

( 4.31 )

który jest prostopadły do każdego z wektorów $\vec{a}$ i $\vec{b}$ ; ma zwrot taki, że trzy wektory tworzą w przestrzeni układ prawoskrętny (zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej, il. 4.20). Jego wartość wynosi:

c=ab\sin\alpha

( 4.32 )

Ilustracja 4.20. Iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest wektorem, którego długość jest równa polu powierzchni równoległoboku o bokach $\vec{a}$ i $\vec{b}$

Należy zauważyć, że wartość wektora $\vec{c}$ utworzonego z iloczynu wektorowego dwóch wektorów $\vec{a}$ i $\vec{b}$ jest liczbowo równa polu powierzchni równoległoboku o bokach $\vec{a}$ i $\vec{b}$ , gdyż:

c=ab\sin\alpha=a\left(b\sin\alpha\right)

Wartość wyrażenia w nawiasie jest równa wysokości $h$ równoległoboku o bokach $a$ i $b$ (il. 4.21), zatem: podstawa $a$ razy wysokość $h$ to pole powierzchni tego równoległoboku.

Ilustracja 4.21. Podstawa $a$ razy wysokość $h$ , to pole powierzchni równoległoboku

Warto ponadto zauważyć, że iloczyn wektorowy nie podlega prawu przemienności. Dlatego ważna jest kolejność zapisu. Zmiana kolejności powoduje zmianę zwrotu wektora wynikłego z iloczynu wektorowego:

\vec{a}\times\vec{b}=\vec{c} {ale} \vec{b}\times\vec{a}=-\vec{c}

Stosując definicję iloczynu wektorowego, możemy napisać wzór wektorowy na moment siły:

\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}

( 4.33 )

Wzór ten jest lepszy od (4.27), w tym sensie, że zawiera informacje nie tylko o wartości momentu siły, ale – jeszcze dodatkowo – o własnościach wektorowych momentu siły i nie wymaga stosowania umowy o jego znaku „ $\pm$ ”.

Wzór 4.33 pokazuje, że moment siły jest wektorem prostopadłym do płaszczyzny wyznaczonej przez siłę $F$ i odległość $r$ . Na (il. 4.19) byłby on prostopadły do rysunku i miałby zwrot „za ekran”, od patrzącego na rysunek.

Kątowi obrotu $\Delta\alpha$ także można nadać interpretację wektorową, w ramach której jest on reprezentowany przez wektor prostopadły do płaszczyzny obrotu – podobnie jak moment siły $M$ . Długość wektora $\Delta\a$ , wyrażana w radianach, jest miarą kąta obrotu, zaś zwrot tego wektora przyjmujemy umownie za dodatni, gdy obrót następuje w kierunku ruchu wskazówek zegara – wtedy wektor ten na schematach i rysunkach podobnych do (il. 4.19) ma zwrot „za ekran”.

Widać więc, że podobieństwo wzorów (4.30) i (3.1) nie jest przypadkowe: oba opisują pracę $\Delta W$ jako iloczyn skalarny wektorów siły $F$ i przemieszczenia $\Delta\s$ bądź, odpowiednio momentu siły $M$ i kąta obrotu $\Delta\alpha$ . Oba te wzory mają zastosowanie w szczególnym przypadku, gdy wektory – czynniki iloczynu – są do siebie równoległe.

Warunki równowagi

Moment siły jest podstawową wielkością fizyczną, którą operują inżynierowie przy projektowaniu stropów, mostów i innych budowli. Żeby konstrukcja inżynierska się nie zawaliła, musi nie tylko być wytrzymała, ale także spełniać warunki równowagi. Badaniem warunków równowagi zajmuje się oddzielna dziedzina nauki, zwana statyką. My ograniczymy się tutaj do przedstawienia tylko podstawowych zasad.

Aby ciało pozostawało w równowadze, czyli w stanie spoczynku, muszą być spełnione dwa warunki:

Suma wektorowa wszystkich sił działających na ciało (tzn. ich wypadkowa) powinna być równa zeru.
Suma momentów sił, określonych względem dowolnej osi, powinna być równa zeru, czyli:

\vec{M}_{1}+\vec{M}_{2}+...+\vec{M}_{n}=0

( 4.34 )

Warunek 1. jest konsekwencją pierwszej zasady dynamiki Newtona. Jego spełnienie oznacza, że ciało nie może się przemieszczać ruchem postępowym.

Warunek 2. wynika z żądania, aby w stanie równowagi suma momentów obracających ciało w jedną stronę była równa sumie momentów obracających ciało w stronę przeciwną względem dowolnej osi obrotu. Warunek ten jest analogiczny do pierwszej zasady dynamiki Newtona – jego spełnienie oznacza, że ciało nie może się obracać.

Przykład 5

Dwa ciężary o masach $m_{1}$ i $m_{2}$ znajdują się na końcach sztywnego, lekkiego pręta o długości $l$ (il. 4.22). Punkt stabilnego podparcia, gdy układ jest w równowadze (czyli pręt się nie przechyla), znajduje się w odległościach $l_{1}$ i $l_{2}$ , odpowiednio, od końców pręta. Znajdź stosunek $\frac{l_{1}}{l_{2}}$ .

Należy tak dobrać stosunek aby pręt się nie przechylał — Ilustracja 4.22. **Należy tak dobrać stosunek $l_{1}$ do $l_{2}$ , aby pręt się nie przechylał**

Rozwiązanie: Jeżeli pręt jest podparty tak jak na rysunku, to ramieniem siły $F_{1}$ jest odcinek $l_{1}$ . Moment tej siły jest ujemny i wynosi $M_{1}=-F_{1}l_{1}$ . Ramieniem siły $F_{2}$ jest odcinek $l_{2}$ ; moment tej siły jest dodatni, $M_{2}=F_{2}l_{2}$ .

Zgodnie z warunkiem równowagi pręt nie będzie się przechylał, gdy:

M_{1}+M_{2}=F_{2}l_{2}-F_{1}l_{1}=m_{2}gl_{2}-m_{1}gl_{1}=0

Stąd:

m_{1}l_{1}=m_{2}l_{2}

więc:

\frac{l_{1}}{l_{2}}=\frac{m_{2}}{m_{1}}

( 4.35 )

Widzimy, że układ jest w równowadze (pręt się nie przechyla), gdy pręt jest podparty w punkcie, który dzieli odcinek $l$ w stosunku $\frac{l_{1}}{l_{2}}$ równym odwrotności stosunku mas $\frac{m_{2}}{m_{1}}$ ciężarów. Wzór (4.35) służy nam do wyznaczania położenia środka ciężkości i środka masy.

Pytania i problemy

Zdefiniuj moment siły oraz ramię siły.
Siła $F=100 N$ , działając stycznie do obwodu koła zamachowego wykonanego w postaci obręczy cienkościennej o promieniu $r=50 cm$ , obraca je względem osi przechodzącej przez środek o kąt $360^{\circ}$ . Oblicz wykonaną pracę.
Podaj wyrażenie na pracę, którą wykonuje siła obracająca bryłę wokół nieruchomej osi.
Wymień warunki, jakie muszą być spełnione, aby ciało było w równowadze.