Po sformułowaniu przez Newtona zasad dynamiki oraz prawa powszechnego ciążenia, w XVIII w. nastąpił gwałtowny rozwój nauki zwanej mechaniką. W jej właśnie ramach, po raz pierwszy w historii, połączono w nowoczesny sposób matematykę, fizykę oraz zastosowania praktyczne uzyskiwanych wyników. Zastosowania te obejmowały bardzo szeroki wachlarz zagadnień, od opisu ruchu planet i innych obserwowanych ciał niebieskich w astronomii, aż po projektowanie i konstrukcję budynków i mostów. Rozwój mechaniki doskonale wpisał się w oświeceniowy charakter całego XVIII wieku. Dziś mechanika jest integralną częścią fizyki, jest również jedną z podstaw techniki. Nieprzypadkowo także wiele wydziałów matematycznych uczelni wyższych zajmuje się zagadnieniami z zakresu mechaniki.

Jednym z aspektów owego rozwoju mechaniki, w sferze teorii, było poszukiwanie i tworzenie nowych wielkości oraz praw fizycznych na bazie wcześniej poznanych. Wymienimy tu tylko dwa takie zabiegi: pomnożenie działającej na ciało siły $\overrightarrow{F}$ przez czas jej działania $\Delta t$ oraz pomnożenie tej siły $\overrightarrow{F}$ przez przemieszczenie $\Delta \overrightarrow{s}$, które towarzyszy temu działaniu. Pierwsza koncepcja doprowadziła fizyków do pojęcia pędu i zasady jego zachowania, drugi zaś pomysł jest wstępem do pojęcia energii i zasady jej zachowania, z uwzględnieniem różnych jej form.

Załóżmy, że ciało o masie $m$ porusza się pod wpływem stałej siły. Wtedy ciało uzyskuje stałe przyspieszenie. Jeżeli początkowo ciało miało prędkość ${\overrightarrow{v}}_1$, to po czasie $\Delta t$ uzyska prędkość ${\overrightarrow{v}}_2$, więc:

Ponieważ $\overrightarrow{a}=\frac{\overrightarrow{F}}{m}$, więc:

Po przekształceniu otrzymamy:

Przyjrzyjmy się temu równaniu. Po lewej stronie mamy iloczyn siły i czasu jej działania $\overrightarrow{F}\Delta t$. Wyrażenie to nazywamy popędem lub impulsem siły. Po prawej stronie (2.12) występuje różnica dwóch wyrażeń tego samego typu, iloczynu masy i prędkości. Otóż iloczyn masy i prędkości, zwany pędem, jest wielkością spełniającą ważną rolę w fizyce. Oznaczamy go symbolem $\overrightarrow{p}$.

Różnica wyrażeń $m{\overrightarrow{v}}_2-m{\overrightarrow{v}}_1$ jest równa przyrostowi pędu $\Delta \overrightarrow{p}$. Zatem wzór (2.12) możemy wyrazić następująco: przyrost pędu jest równy popędowi udzielonemu ciału:

Wzór ten po prostym przekształceniu przybierze postać:

Jest to inna, najbardziej ogólna postać drugiej zasady dynamiki Newtona. Wzór ten jest bardzo przydatny przy rozwiązywaniu wielu ważnych zagadnień fizycznych. Będziemy go nieraz stosować.

Przykład 4

Piłka o masie $m=\mathrm{0,1}\text{kg}$ uderzyła w ścianę z prędkością równą $v=20\text{m}/\text{s}$ prostopadle do ściany. Zetknięcie piłki ze ścianą trwało $\Delta t=\mathrm{0,1}\text{s}$. Wyznacz średnią siłę $F$, z jaką ściana działa na piłkę podczas uderzenia. Przyjmij, że zderzenie jest doskonale sprężyste, to znaczy, że po odbiciu od ściany piłka ma taką samą wartość prędkości jak przed uderzeniem, ale jej zwrot jest przeciwny do zwrotu przed zderzeniem (il. 2.24).

Rozwiązanie: Najpierw obliczymy zmianę pędu, jakiej doznała piłka po uderzeniu w ścianę. Pęd piłki przed zderzeniem wynosił ${\overrightarrow{p}}_1=-m\overrightarrow{v}$, zaś po zderzeniu ${\overrightarrow{p}}_2=m\overrightarrow{v}$, zatem przyrost pędu wyniósł:

$$\Delta \overrightarrow{p}={\overrightarrow{p}}_2-{\overrightarrow{p}}_1=m{\overrightarrow{v}}_2-m{\overrightarrow{v}}_1=m\overrightarrow{v}-\left(-m\overrightarrow{v}\right)=m\overrightarrow{v}+m\overrightarrow{v}=2m\overrightarrow{v}$$

Przyrost pędu piłki jest równy popędowi, jakiego ściana udzieliła piłce. Zgodnie z równaniem (2.14): $\overrightarrow{F}\Delta t=\Delta \overrightarrow{p}=2m\overrightarrow{v}$. Stąd $F=\frac{2mv}{\Delta t}$, więc:

$$F=\frac{2\cdot \mathrm{0,1}\text{kg}\cdot 20\text{m}/\text{s}}{\mathrm{0,1}\text{s}}=40\text{N}$$

Widzimy zatem, że ściana działa na piłkę średnią siłą równą 40 N. Warto zwrócić uwagę, że w tym zderzeniu ściana także doznała popędu ze strony piłki. Jednak w praktyce nie zauważamy tego w postaci zmiany prędkości ściany – ze względu na ogromną jej masę w porównaniu z masą piłki.

Pytania i problemy

1. Podaj definicję pędu ciała. Czy pęd jest wektorem? Odpowiedź uzasadnij.
2. Podaj definicję popędu siły. Czy popęd jest wektorem? Odpowiedź uzasadnij.
3. Wykaż, że jednostki pędu ciała i jednostki popędu siły są jednakowe.
4. Sformułuj drugą zasadę dynamiki Newtona, wykorzystując pojęcia pędu i popędu.
5. Pocisk o masie 0,01 kg uderza z prędkością 500 m/s w ścianę i grzęźnie w niej. Czas trwania ruchu pocisku w ścianie wynosi 0,001 s. Oblicz średnią siłę oporu działającą na pocisk w ścianie.  Rozwiąż zadanie dwoma sposobami: korzystając z pojęcia pędu oraz korzystając z pojęcia przyspieszenia.