2.11. Opory ruchu ciała w płynie – cieczy lub gazie (temat nadobowiązkowy)
Na ciało poruszające się w ośrodku ciekłym lub gazowym działa siła oporu skierowana przeciwnie do ruchu tego ciała. Na il. 2.43 przedstawiono kulkę poruszającą się w takim ośrodku. Widoczne są strugi płynu opływające kulkę oraz zawirowania za kulką. Całkowity opór ruchu można podzielić na dwa elementy, które nazwiemy: tarciem wewnętrznym (lub lepkością) i oporem ciśnieniowym . Zatem:
Tarcie wewnętrzne wynika z tego, że ciało poruszające się w płynie powoduje ruch warstw płynu przyległych do ciała. Bezpośrednio przylegająca cienka warstwa płynu oblepia ciało i porusza się z prędkością tego ciała. Coraz dalsze warstwy mają coraz mniejszą prędkość. Między warstwami występują siły tarcia wewnętrznego wynikające z wymiany cząsteczek między nimi. Cząsteczki przechodzące z warstwy powolniejszej hamują warstwę szybszą i na odwrót – cząsteczki przechodzące z warstwy szybszej do powolniejszej przyspieszają tę ostatnią.
Stwierdzono, że tarcie wewnętrzne dominuje w przypadku małych prędkości ciała i że siła oporu jest proporcjonalna do :
gdzie – współczynnik proporcjonalności, który zależy od rodzaju płynu oraz od kształtu ciała. Przykładowo, dla kuli o promieniu współczynnik ten wynosi:
gdzie – tzw. współczynnik lepkości charakterystyczny dla ośrodka.
Opór ciśnieniowy wynika głównie z występowania różnicy ciśnienia w ośrodku przed i za ruchomym ciałem. Przed ciałem występuje zagęszczenie ośrodka i zwiększone jego ciśnienie, zaś za ciałem występuje rozrzedzenie i zmniejszone ciśnienie. Stwierdzono, że opór ciśnieniowy dominuje w przypadku dużych prędkości ciała i jest proporcjonalny do kwadratu jego prędkości:
gdzie – współczynnik proporcjonalności, który zależy od rodzaju płynu oraz od kształtu i rozmiaru ciała. Dany jest on wzorem:
gdzie – współczynnik liczbowy zależny od kształtu ciała, – pole powierzchni przekroju ciała poprzecznego do kierunku ruchu, – gęstość płynu.
Przykładowo dla kuli o promieniu :
gdzie – współczynnik liczbowy (typowe wartości wahają się od 0,2 do 0,4).
Kryterium oceny prędkości – czy dominuje opór , czy opór – jest tzw. liczba Reynoldsa , która wyraża się za pomocą wzoru:
Gdy , dominuje lepkość; gdy , dominuje opór ciśnieniowy.
Przy małych prędkościach i dla ośrodków, gdzie , dominuje lepkość, zawirowania płynu są zaniedbywalnie małe i taki ruch nazywamy ruchem laminarnym. Przy dużych prędkościach i dla ośrodków, gdzie , dominuje opór ciśnieniowy, występują znaczne zawirowania płynu i taki ruch nazywa się ruchem turbulentnym.
Spadek ciała w cieczy lub gazie
W rozdziale Kinematyka punktu materialnego omawialiśmy swobodny spadek ciała. Zakładaliśmy wtedy działanie na ciało jedynie siły ciężkości, co zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona oznacza, że ruch ciała będzie ruchem jednostajnie przyspieszony z przyspieszeniem ziemskim . Teraz uwzględnimy siłę oporu działającą na spadające ciało w ośrodku. Działa tu jeszcze siła wyporu (il. 2.44).
Druga zasada dynamiki Newtona przyjmuje postać:
gdzie: – masa ciała, – jego przyspieszenie.
Siła ciężkości i siła wyporu pozostają stałe podczas ruchu, natomiast siła oporu wzrasta wraz z prędkością ciała.
W początkowej fazie ruchu, kiedy prędkość jest mała, opór jest mały i (dla niewielkich ciał w powietrzu) wypór jest też mały. Zatem w początkowych sekundach ruch jest jednostajnie przyspieszony – prędkość narasta liniowo w czasie.
W miarę wzrostu prędkości wzrasta opór, a przyspieszenie ciała maleje. Gdy prędkość wzrośnie znacznie, to siła oporu wzrośnie do tego stopnia, że zrównoważy siłę ciężkości i przyspieszenie spadnie do zera, . Wtedy ruch stanie się jednostajny – ciało będzie opadać ze stałą prędkością, zwaną prędkością graniczną . Wykres prędkości ciała w zależności od czasu przedstawiono na il. 2.45.
W przypadku ciał spadających w powietrzu ruch z tą prędkością nie jest laminarnym i dominuje tu opór ciśnieniowy (opór laminarny dominuje tylko dla bardzo małych ciał – pyłków, kropelek mgły itp.). Po wstawieniu do równania (2.49) , , i , otrzymamy:
Stąd można obliczyć prędkość graniczną:
Przykład 10
Obliczymy, z jaką prędkością (graniczną) spadają krople deszczu. Przyjmijmy, że kropla ma kształt kulisty, promień kropli wynosi , gęstość wody , gęstość powietrza , .
Rozwiązanie: Do wzoru (2.51) wstawimy i .
Otrzymamy:
Widzimy, że prędkość spadania kropel wynosi ok. 8 m/s. Doświadczenie potwierdza ten wynik.
Przykład 11
Działanie siły oporu na ciało spadające w powietrzu jest wykorzystywane w spadochronie ratującym życie człowiekowi.
Człowiek, spadając z dużej wysokości bez spadochronu, uderzyłby w ziemię z prędkością graniczną rzędu kilkudziesięciu metrów na sekundę – co zwykle kończy się śmiercią.
Spadochron ma pole przekroju poprzecznego około sto razy większe w stosunku do człowieka, jak również współczynnik jest kilka razy większy. Zatem iloczyn spadochronu jest kilkaset razy większy niż człowieka, co powoduje, że prędkość graniczna człowieka ze spadochronem jest kilkadziesiąt razy mniejsza niż człowieka bez spadochronu. Jest ona bezpieczna, gdyż wynosi od ok. 3 m/s do 4 m/s. Jej wartość jest porównywalna z prędkością skoku przez niewielką przeszkodę.
Pytania i problemy
- Opisz siły oporu działające na ciało poruszające się w ośrodku. Nazwij dwa elementy, z jakich składa się całkowity opór ośrodka.
- Przedstaw warunki, w których dominuje tarcie wewnętrzne (lepkość). Omów warunki, w jakich dominuje opór ciśnieniowy.
- Co to jest liczba Reynoldsa ? Podaj wzór i interpretację. Rozstrzygnij, jaki jest charakter zależności liczby Reynoldsa od prędkości. Wykorzystaj wzór (2.48).
- Przedstaw sytuacje, w których występują: a) ruch laminarny, b) ruch turbulentny.
- Wyprowadź jednostki, w jakich wyraża się współczynnik we wzorze (2.44). Na tej podstawie wyprowadź jednostki współczynnika lepkości ośrodka we wzorze (2.45).
- Wyprowadź jednostki, w jakich wyraża się współczynnik we wzorze (2.46). Wykaż, że stąd wynika, że wielkość występująca we wzorze (2.47) jest niemianowana i że uzasadnione jest nazywanie „współczynnikiem liczbowym”.
- Napisz wzór wyrażający drugą zasadę dynamiki Newtona w przypadku spadku ciała w gazie. Wstaw tu odpowiednie wyrażenie na opór i oblicz prędkość graniczną.
- Opisz zasadę działania spadochronu na podstawie prawa ruchu ciała w ośrodku (iloczyn ).