5.9. Prędkości kosmiczne

Zasada zachowania energii umożliwia obliczenie prędkości, jaką należy nadać ciału, aby mogło polecieć w Kosmos.

Mamy trzy szczególne możliwości:

ciało opuszcza Ziemię, ale krąży po orbicie wokół Ziemi,
ciało wylatuje poza zasięg pola grawitacyjnego Ziemi,
ciało opuszcza Układ Słoneczny i oddala się poza zasięg pola grawitacyjnego Słońca. W tym przypadku chodzi nam o prędkość ciała względem Ziemi (Uwaga: temat nadobowiązkowy).

Rozważymy teraz szczegółowo te przypadki.

Ad 1. Przypomnijmy, jaką prędkość należy nadać ciału, aby mogło stać się sztucznym satelitą.

Ilustracja 5.28. **Przy odpowiednio dużej prędkości ciało okrąża Ziemię, stając się jej sztucznym satelitą**

Współczesne rakiety startują z powierzchni Ziemi, wylatują poza obszar atmosfery otaczającej Ziemię i tam, na wysokości ponad 160 km, umieszczają satelity. Chodzi o to, aby opór powietrza nie zmniejszał prędkości satelity, co nieuchronnie spowodowałoby jego upadek. Rakieta nie od razu nabywa odpowiedniej prędkości, lecz rozpędza się na określonej drodze, pokonując zarówno przyciąganie ziemskie, jak i opór powietrza. Rachunki w takim przypadku są skomplikowane. Jednakże, jeżeli nas interesuje tylko prędkość na orbicie, to zagadnienie jest proste. Wystarczy przyrównać siłę dośrodkową z siłą grawitacji satelity na orbicie wokółziemskiej.

Przyjmiemy, że promień orbity wynosi $r$ , zaś promień Ziemi $R$ . Prędkość satelity na orbicie oznaczymy przez $v$ . Skoro na orbicie działa na satelitę siła dośrodkowa równa sile grawitacji, to:

F=\frac{mv^{2}}{r}=G\frac{Mm}{r^{2}}

( 5.49 )

Po przekształceniu równania (5.49) otrzymujemy wzór na prędkość satelity na orbicie kołowej:

v=\sqrt{\frac{GM}{r}}

( 5.50 )

Jeżeli satelita ma orbitę bliską Ziemi, to promień orbity $r$ tylko nieznacznie różni się od promienia Ziemi $R$ . Wtedy we wzorze (5.50) możemy podstawić $R=r$ i otrzymać wzór na tak zwaną pierwszą prędkość kosmiczną:

v_{1}=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{gR}

( 5.51 )

Wykorzystaliśmy tu wzór (5.28) dla małych wysokości $g=\frac{GM}{R^{2}}$ , więc:

v_{1}=\sqrt{gR}=\sqrt{9,81\,\frac{m}{s^{2}}\cdot6,37\cdot10^{6}\, m}=7,92\cdot10^{3}\,\frac{m}{s}\approx8\frac{km}{s}

Zatem pierwsza prędkość kosmiczna wynosi około 8 km/s (czyli jest prawie 9 razy większa od prędkości kuli karabinowej).

Ilustracja 5.29. **Takie rakiety służą do umieszczania satelitów na orbicie (NASA)**

Przykład 10

Prędkość satelity krążącego na orbicie na wysokości $h=160\, km$ nieznacznie różni się od pierwszej prędkości kosmicznej $v_{1}=8\, km/s$ . Łatwo się o tym przekonamy, przeprowadzając następujące rozumowanie.

Promień orbity satelity wynosi $r=R+h$ .

Zgodnie z wzorem (5.50) prędkość satelity wyraża się wzorem:

v=\sqrt{\frac{GM}{r}}=\sqrt{\frac{GM}{R+h}}

Przekształcimy ten wzór w ten sposób, aby pojawiła się w nim prędkości $v_{1}$ :

v=\sqrt{\frac{GM}{R+h}}=\sqrt{\frac{GMR^{2}}{R^{2}\left(R+h\right)}}=\sqrt{gR\frac{R}{R+h}}=v_{1}\sqrt{\frac{R}{R+h}}

Skorzystaliśmy tu z wzoru (5.51). Po podstawieniu danych: $h=160\, km$ i $R=6\,400\, km$ otrzymujemy:

v=0,988 v_{1}

Oznacza to, że prędkość satelity na wysokości 160 km jest mniejsza tylko o 1,2% od obliczonej poprzednio pierwszej prędkości kosmicznej $v_{1}$ .

Pokażemy teraz ciekawą prawidłowość występującą w przypadkach ruchu ciała w polu centralnym (oto przykłady – kulista planeta wytwarza centralne pole grawitacyjne, ładunek punktowy wytwarza centralne pole elektrostatyczne).

Przyjrzyjmy się równaniu (5.49):

\frac{mv^{2}}{r}=G\frac{Mm}{r^{2}}

Po prostym przekształceniu równanie przybiera postać:

mv^{2}=G\frac{Mm}{r}

Widzimy, że lewa strona tego równania odpowiada podwojonej energii kinetycznej satelity na orbicie, a prawa jest równa wartości bezwzględnej energii potencjalnej satelity na orbicie. Dostrzegamy następującą prawidłowość: energia kinetyczna jest dwa razy mniejsza od bezwzględnej wartości energii potencjalnej. Zatem energia całkowita na orbicie jest równa:

E=E_{k}+E_{p}=G\frac{Mm}{2r}-G\frac{Mm}{r}=-G\frac{Mm}{2r}=\frac{E_{p}}{2}=-E_{k}

czyli energia całkowita jest równa połowie energii potencjalnej oraz jest równa energii kinetycznej, ale z przeciwnym znakiem.

Ta prawidłowość energetyczna występująca na orbicie w polu grawitacyjnym ma miejsce również dla elektronu krążącego po orbicie w atomie wodoru, według modelu Bohra.

Ad 2. Prędkość jaką należy nadać ciału na Ziemi, aby mogło uciec z pola grawitacyjnego Ziemi, nazywamy drugą prędkością kosmiczną lub prędkością ucieczki. Oznaczymy ją przez $v_{2}$ .

Zmiana energii potencjalnej ciała przy jego oddalaniu się do nieskończoności nastąpi kosztem energii kinetycznej. Zatem:

\frac{mv_{2}^{2}}{2}=G\frac{mM}{R}

\Delta E_{kin}=-\Delta E_{pot}

0-\frac{mv_{2}^{2}}{2}=-(0-(-G\frac{mM}{R}))

(przyjmujemy tu, że ciało po oddaleniu się do nieskończoności zatrzyma się, więc końcowa energia kinetyczna wynosi zero; energia potencjalna w nieskończoności także wynosi zero).

Stąd:

v_{2}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}=v_{1}\sqrt{2}=7,92\cdot1,414\,\frac{km}{s}=11,2\,\frac{km}{s}

( 5.52 )

Widzimy, że druga prędkość kosmiczna jest $\sqrt{2}$ razy (czyli około półtora raza) większa od pierwszej prędkości kosmicznej. Należy zaznaczyć, że w naszych rozważaniach nie uwzględnialiśmy pola grawitacyjnego Słońca. Dlatego $v_{2}$ jest prędkością, jaką należy nadać ciału, aby oddaliło się poza obszar przyciągania Ziemi, ale nie poza obszar grawitacji Słońca. Zatem ciało stanie się sztuczną planetoidą.

Ad 3. Najpierw obliczymy prędkość $v_{2S}$ ucieczki z pola grawitacyjnego Słońca. Niech ciało znajduje się samotnie w odległości $r_{0}$ od Słońca równej promieniowi orbity Ziemi. Energia kinetyczna ciała powinna być równa bezwzględnej wartości energii potencjalnej pochodzącej od Słońca:

\frac{mv_{2S}^{2}}{2}=G\frac{M_{S}m}{r_{0}}

gdzie: $M_{S}$ – masa Słońca. Stąd, stosując rozumowanie analogiczne do tego, które nas doprowadziło do wyznaczenia drugiej prędkości kosmicznej, otrzymujemy:

v_{2S}^{2}=2G\frac{M_{S}}{r_{0}}

( 5.53 )

Łatwo możemy wykazać, że wyrażenie $GM_{S}/r_{0}$ jest równe $v_{0}^{2}$ , czyli kwadratowi prędkości orbitalnej Ziemi, ponieważ Ziemia na orbicie wokółsłonecznej doznaje siły dośrodkowej równej sile przyciągania Ziemia–Słońce:

\frac{Mv_{0}^{2}}{r_{0}}=G\frac{MM_{S}}{r_{0}^{2}}

Po uproszczeniu widzimy, że $v_{0}^{2}=GM_{S}/r_{0}$ . Wykorzystując ten wzór i (5.53), otrzymamy:

v_{2S}^{2}=2G\frac{M_{S}}{r_{0}}=2v_{0}^{2}\qquad\qquad czyli\qquad\qquad v_{2S}=v\sqrt{2}

( 5.54 )

W celu obliczenia prędkości $v_{3}$ , jaką powinno mieć ciało wyrzucone z Ziemi, aby mogło uciec z Układu Słonecznego, zapiszemy równanie energii, wykorzystując fakt, że ciało na Ziemi ma już prędkość $v_{0}$ i do pokonania pola grawitacyjnego Słońca potrzebna mu tylko prędkość równa $v_{2S}-v_{0}$ (zakładamy tutaj, że prędkość wyrzutu, $v_{3}$ , jest równoległa do prędkości orbitalnej Ziemi $v_{0}$ ). Zatem

\frac{mv_{3}^{2}}{2}=\frac{m\left(v_{2S}-v_{0}\right)^{2}}{2}+\frac{mv_{2}^{2}}{2}

Lewa strona tego równania jest równa całkowitej energii kinetycznej ciała startującego z Ziemi. Pierwszy wyraz prawej strony to energia kinetyczna potrzebna do ucieczki z pola grawitacyjnego Słońca, drugi wyraz to energia kinetyczna potrzebna do ucieczki z pola grawitacyjnego Ziemi. Stąd i z (5.54) otrzymujemy ostatecznie:

v_{3}=\sqrt{v_{0}^{2}\left(\sqrt{2}-1\right)^{2}+v_{2}^{2}}

( 5.55 )

Po podstawieniu $v_{0}=30\, km/s$ oraz $v_{2}=11,2\, km/s$ , otrzymujemy wartość trzeciej prędkości kosmicznej:

v_{3}=16,7\, km/s

Podkreślmy raz jeszcze, że jest to prędkość względem Ziemi, a nie względem Słońca.

Pytania i problemy

Co to jest pierwsza prędkość kosmiczna? Wyprowadź wzór na pierwszą prędkość kosmiczną, wychodząc z równości siły dośrodkowej z siłą grawitacji.
Co to jest druga prędkość kosmiczna? Z jaką energią należy porównać energię kinetyczną ciała, aby była ona wystarczająca do uzyskania drugiej prędkości kosmicznej?
Czy umiałbyś wyprowadzić wzór na drugą prędkość kosmiczną, korzystając z wyniku zadania 6. z rozdziału 5.8. Energia potencjalna w polu grawitacyjnym?
Co to jest trzecia prędkość kosmiczna? Z jaką energią należy porównać energię kinetyczną ciała, aby była ona wystarczająca do uzyskania trzeciej prędkości kosmicznej?
Wzór (5.52) można przekształcić do postaci:

$v_{2}=\sqrt{\frac{GM}{\frac{R}{2}}}$

( 5.56 )

Jak byś zinterpretował ten wzór? Wskazówka: porównaj wzór (5.56) ze wzorem (5.51) i (5.50).