5.3. Grawitacja wewnątrz planety – temat nadobowiązkowy

Wzór na siłę grawitacji wewnątrz planety

Jak wiadomo, wzór na siłę grawitacji:

F=G\frac{mM}{r^{2}}

( 5.9 )

pozwala obliczyć siłę przyciągania ciała o masie $m$ przez inne ciało kuliste o masie $M$ w przypadku, gdy ciało $m$ znajduje się na zewnątrz ciała $M$ , np. na zewnątrz Ziemi. Natomiast, jeżeli małe ciało $m$ znajduje się wewnątrz dużej jednorodnej kuli o masie $M$ w odległości $r$ od jej środka, to wypadkowa siła grawitacji działająca na ciało $m$ jest skierowana do środka kuli i wyraża się za pomocą wzoru:

F_{w}=G\frac{mM\left(r\right)}{r^{2}}

( 5.10 )

gdzie $M\left(r\right)$ oznacza masę rdzenia kuli o promieniu $r$ .

Ilustracja 5.8. Wypadkowa siła grawitacji $F$ działająca na ciało $m$ wewnątrz kulistej planety jest skierowana do środka kuli

Wyprowadzimy wzór (5.10) na siłę grawitacji działającą na ciało $m$ wewnątrz kuli o gęstości $\rho$ w zależności od odległości od środka kuli $r$ w zakresie $0 {mniejsze} r {mniejsze} R$ .

Podzielimy w myśli kulę na koncentryczne cienkie warstwy. Umieścimy ciało próbne o masie $m$ w punkcie $P$ (il. 5.9a). Ciało w punkcie $P$ wewnątrz kuli o promieniu $R$ jest przyciągane do środka kuli przez jej część kulistą o promieniu $r$ . Pokażemy teraz, że wypadkowa siła grawitacji pochodząca od skrajnych wewnętrznych warstw, usytuowanych na zewnątrz punktu $P$ , wynosi zero.

Najpierw rozważymy siłę pochodzącą od jednej tak usytuowanej warstwy (il. 5.9b). Na ciało $P$ będą działać siły przyciągania pochodzące od wszystkich fragmentów tej warstwy. Rozważmy siłę $F_{1}$ pochodzącą od jednego małego fragmentu o powierzchni $S_{1}$ . Siła ta jest proporcjonalna do masy tego fragmentu, a więc i do pola jego powierzchni, i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości $r_{1}$ , tzn. $F_{1}\sim\frac{S_{1}}{r_{1}^{2}}$ .

Jeżeli z punktu $P$ poprowadzimy stożek do fragmentu warstwy o polu $S_{1}$ , to po drugiej stronie w odległości $r_{2}$ powstanie stożek wycinający z warstwy fragment o polu $S_{2}$ . Siła pochodząca od tego fragmentu będzie skierowana przeciwnie do siły $F_{1}$ i wyrazi się podobną zależnością: $F_{2}\sim\frac{S_{2}}{r_{2}^{2}}$ .

Stosunek tych sił będzie równy $\frac{F_{1}}{F_{2}}=\frac{S_{1}}{S_{2}}\cdot\frac{r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}}$ . Ponieważ te dwa stożki (o wspólnym wierzchołku w punkcie $P$ ) są do siebie podobne, więc łatwo można wykazać, że:

\frac{S_{1}}{S_{2}}=\frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}

Zatem:

\frac{F_{1}}{F_{2}}=\frac{S_{1}}{S_{2}}\cdot\frac{r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}}=\frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}\cdot\frac{r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}}=1

Widzimy więc, że siły pochodzące od fragmentów warstwy o polach $S_{1}$ i $S_{2}$ znoszą się wzajemnie. Każdy element warstwy ma swój odpowiednik „na antypodach”, a ponieważ można w ten sposób podzielić całą powierzchnię warstwy, więc wypadkowa sił grawitacji czaszy działających na ciało próbne umieszczone w dowolnym punkcie wewnątrz niej będzie równa zeru.

A co z pozostałymi warstwami?

Łatwo można wykazać, w podobny sposób, że od każdej z pozostałych warstw wypadkowa siła grawitacji jest równa zeru. Stąd wynika, że tylko część wewnętrzna kuli o promieniu $r$ przyciąga ciało próbne, czyli wewnątrz Ziemi siła ciężkości wyrazi się za pomocą wzoru:

F_{w}=G\frac{mM\left(r\right)}{r^{2}}

( 5.11 )

gdzie $M (r)$ oznacza masę części wewnętrznej kuli o promieniu $r$ .

Wykres zależności siły grawitacji $F$ od odległości $r$ od środka planety kulistej

Zgodnie ze wzorem (5.11) wypadkowa siła działająca na ciało próbne pochodzi tylko od wewnętrznej kuli o promieniu $r$ . $M\left(r\right)$ , czyli masę kuli o promieniu $r$ można wyrazić za pomocą gęstości $\rho$ planety:

M\left(r\right)=\frac{4\pi r^{3}}{3}\rho

( 5.12 )

Po wstawieniu tego wzoru do (5.11) otrzymamy:

F=G\frac{\frac{4\pi r^{3}\rho}{3}m}{r^{2}}=\frac{4}{3}\pi G\rho mr

Zauważmy, że siła grawitacji wewnątrz jednorodnej planety rośnie liniowo wraz z odległością $r$ od środka planety:

F=\frac{4}{3}\pi G\rho mr

( 5.13 )

i w środku planety jest równa zeru.

Wzór (5.13) można zapisać jako:

F=Kr

( 5.14 )

gdzie $K$ ma stałą wartość:

K=\frac{4}{3}\pi G\rho m

( 5.15 )

Widzimy więc, że wykresem siły $F$ wewnątrz planety jest linia prosta. Na zewnątrz obowiązuje wzór $F=G\frac{mM}{r^{2}}$ przedstawiający zależność odwrotnie proporcjonalną siły $F$ od kwadratu odległości $r$ od środka planety. Pełny wykres siły grawitacji, wewnątrz i na zewnątrz jednorodnej kuli, w zależności od odległości od jej środka, jest przedstawiony na il. 5.10.

Ilustracja 5.10. Wykres zależności siły grawitacji $F$ działającej wewnątrz kulistej planety oraz na zewnątrz planety (w zależności od odległości $r$ , liczonej od środka planety)

Praca przemieszczenia ciała wewnątrz jednorodnej planety

Z punktu środkowego jednorodnej planety o masie $M$ i promieniu $R$ przeniesiono ciało o masie $m$ na odległość $r$ . Jaką pracę wykonano?

Podczas wykonywania tej pracy należy działać siłą przeciwnie skierowaną do siły grawitacji (5.16) i równą jej wartości $F=Kr$ . Siła ta zmienia się liniowo wraz ze wzrostem $r$ – przesunięcia ciała. Wartość średnia tej siły na drodze $r$ wynosi:

F_{\acute{s}r}=\frac{1}{2}Kr

Praca $W$ przesunięcia ciała na tej drodze wynosi $W=F_{\acute{s}r}r$ . Zatem:

W=\frac{1}{2}Kr^{2}

Po podstawieniu stałej $K$ z wzoru (5.15) otrzymamy:

W=\frac{4}{6}\pi G\rho mr^{2}

( 5.16 )

W przypadku, gdy ciało zostanie przeniesione z punktu środkowego planety na jej powierzchnię, to droga przesunięcia ciała wyniesie $r=R$ , a siła grawitacji wzrośnie od zera, w środku planety, do wartości:

F=G\frac{mM}{r^{2}}

Tak więc średnia siła na drodze od $r=0$ do $r=R$ wyniesie $F_{\acute{s}r}=\frac{1}{2}G\frac{mM}{r^{2}}$ , z kolei praca $W=F_{\acute{s}r}R$ lub

W=\frac{1}{2}G\frac{mM}{r}

( 5.17 )

Przykład 4: „Pociąg przyszłości”

Pociągiem przyszłości nazwijmy pojazd, który mógłby się poruszać tylko pod wpływem siły grawitacji (przy zaniedbaniu oporu powietrza – bez dodatkowego napędu) w tunelu przewierconym na wylot w Ziemi (il. 5.11). Pojazd ten mógłby poruszać się wahadłowo, osiągając przeciwległy punkt Ziemi. Oblicz prędkość $v_{0}$ , jaką osiągnąłby pojazd w środku Ziemi, oraz prędkość $v_{k}$ na drugim końcu tunelu. Przyjmij, że Ziemia jest jednorodną kulą, o jednakowej gęstości $\rho$ w każdym punkcie, i zaniedbaj opór powietrza.

W tunelu przewierconym na wylot w Ziemi mógłby kursować pociąg przyszłości — Ilustracja 5.11. **W tunelu przewierconym na wylot w Ziemi mógłby kursować „pociąg przyszłości”**

Rozwiązanie: Pojazd w tunelu nabywa prędkości i energii kinetycznej dzięki pracy siły grawitacji. Praca $W$ siły grawitacji wewnątrz Ziemi (na drodze od powierzchni Ziemi do jej środka – wzór (5.17)) jest równa energii kinetycznej ciała $m$ w tunelu w punkcie środkowym Ziemi:

W=\frac{1}{2}G\frac{mM}{R}=\frac{mv_{0}^{2}}{2}

Stąd:

v_{0}=\sqrt{G\frac{M}{R}}

( 5.18 )

Wzór ten może przybrać prostszą postać, gdy wykorzystamy równanie siły grawitacji na powierzchni Ziemi:

mg=G\frac{mM}{R^{2}}

więc:

g=G\frac{M}{R^{2}}

( 5.19 )

Zatem, wstawiając ten wynik do wzoru (5.18), ostatecznie otrzymamy prędkość pojazdu w tunelu w środku Ziemi:

v_{0}=\sqrt{gR}=7,9\, km/s

( 5.20 )

Oczywiście, prędkość $v_{k}$ na drugim końcu tunelu wynosi zero, ponieważ praca $W$ siły grawitacji wewnątrz Ziemi (na drodze od środka do powierzchni Ziemi) zredukuje całkowicie energię kinetyczną ciała w punkcie środkowym Ziemi. Tak więc prędkość końcowa $v_{k}$ będzie równa zeru.

Na koniec zwróćmy uwagę na ciekawy fakt: prędkość uzyskana w środkowym punkcie tunelu jest tożsama z pierwszą prędkością kosmiczną, którą obliczyliśmy w pierwszym tomie podręcznika w rozdziale 1.7 Prędkości kosmiczne i sztuczne satelity, wzór (1.24). Nie jest to przypadek, mimo że rozwiązywaliśmy różne zagadnienia i zastosowaliśmy różne metody ich rozwiązania. Zastanów się, w czym hipotetyczny orbitalny ruch po okręgu, tuż przy powierzchni Ziemi, może być podobny do hipotetycznego ruchu prostoliniowego w tunelu przechodzącym przez środek Ziemi. Wskazówka: Przypomnij sobie zasadę niezależności ruchów (rozdział 1.10. Operacje na wektorach) i zastosuj ją do ruchu po okręgu.

Pytania i problemy

Czy na ciało znajdujące się wewnątrz planety działa siła grawitacji? Odpowiedź uzasadnij w kilku słowach.
Wyjaśnij, dlaczego nie obserwuje się, aby na ciało znajdujące się wewnątrz planety działała wypadkowa siła grawitacji równa zeru, jeżeli jest ono w pewnej odległości od środka planety.
Wytłumacz, jak działają siły grawitacji na ciało znajdujące się dokładnie w środku kulistej jednorodnej planety?
Podaj wzór na wypadkową siłę grawitacji działającą na małe ciało $m$ wewnątrz dużej jednorodnej kuli o masie $M$ w odległości $r$ od jej środka. Objaśnij znaczenie symboli w tym wzorze.
Postaraj się wyjaśnić, dlaczego pojazd umieszczony w tunelu przewierconym na wylot Ziemi (nazwany pociągiem przyszłości) mógłby jeździć bez napędu i osiągać stację znajdującą się na antypodach Ziemi?