5.D1. Dodatek: Wyprowadzenie wzoru na pracę w polu grawitacyjnym - temat nadobowiązkowy

Przedstawimy tutaj dowód na prawdziwość wzoru (5.35). W celu obliczenia pola powierzchni $A C D E$ (il. 5.23b), będącego miarą pracy $W_{12}$ , pokryjemy całą powierzchnię wąskimi paskami, jak na il. 5.30. Suma pól powierzchni tych pasków jest równa polu pod krzywą z tym większą dokładnością, im węższe paski weźmiemy pod uwagę. Ponieważ paski mogą być dowolnie małej szerokości $\Delta r$ , sumowanie ich daje możliwość obliczenia pola całej powierzchni z dowolnie dużą dokładnością.

Ilustracja 5.30. Suma pól powierzchni wąskich pasków jest równa polu całej powierzchni pod krzywą; sama krzywa jest przedstawiona schematycznie, dla zwiększenia czytelności wywodu

Cała praca siły $F$ na drodze od $r_{1}$ do $r_{2}$ jest równa sumie prac na odcinkach drogi $\Delta r$

Praca $\Delta W_{i}$ siły $F_{i_{1}}$ na drodze $\Delta r$ , na wykresie jest przedstawiona jako pole powierzchni pojedynczego prostokątnego paska (o kolejnym numerze $i$ ). Zatem:

\Delta W_{i}=F_{i_{1}}\Delta r

( 5.57 )

Po podstawieniu wyrażenia na siłę grawitacji $F_{i_{1}}=\frac{GMm}{r_{i_{1}}^{2}}$ otrzymamy:

\Delta W_{i}=GMm\frac{\Delta r}{r_{i_{1}}^{2}}

( 5.58 )

Wykażemy teraz, że dla małych wartości $\Delta r$ słuszny jest wzór:

\frac{\Delta r}{r_{i_{1}}^{2}}\approx\frac{1}{r_{i_{1}}}-\frac{1}{r_{i_{2}}}

( 5.59 )

Na il. 5.30 widzimy, że $r_{i_{2}}=r_{i_{1}}+\Delta r$ , zatem:

\frac{1}{r_{i_{1}}}-\frac{1}{r_{i_{2}}}=\frac{1}{r_{i_{1}}}-\frac{1}{r_{i_{1}}+\Delta r}=\frac{r_{i_{1}}+\Delta r-r_{i_{1}}}{r_{i_{1}}\left(r_{i_{1}}+\Delta r\right)}=\frac{\Delta r}{r_{i_{1}}\left(r_{i_{1}}+\Delta r\right)}=\frac{\Delta r}{r_{i_{1}}^{2}\left(1+\frac{\Delta r}{r_{i_{1}}}\right)}

Ponieważ $\Delta r$ jest małe (czyli $\frac{\Delta r}{r_{i_{1}}^{2}}\approx 0$ ), mianownik tego wzoru jest w przybliżeniu równy $r{r_{i_{1}}^{2}$ , zatem jest słuszny wzór (5.59).

Pracę $\Delta W_{i}$ wyrażoną za pomocą wzoru (5.58) możemy, korzystając ze wzoru (5.59), przedstawić następująco:

\Delta W_{i}\approx GMm\left(\frac{1}{r_{i_{1}}}-\frac{1}{r_{i_{2}}}\right)

( 5.60 )

Obecnie sumowanie wszystkich małych prac $\Delta W_{i}$ nie sprawi nam żadnych trudności. Cała praca siły grawitacji na drodze od $r_{1}$ do $r_{2}$ jest równa:

\begin{array}{c} W_{12}\approx\Delta W_{1}+\Delta W_{2}+\Delta W_{3}+\Delta W_{i}+...+\Delta W_{n}=\\ =GMm\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{1_{2}}}\right)+GMm\left(\frac{1}{r_{2_{1}}}-\frac{1}{r_{2_{2}}}\right)+GMm\left(\frac{1}{r_{3_{1}}}-\frac{1}{r_{3_{2}}}\right)+...+\\ +GMm\left(\frac{1}{r_{i_{1}}}-\frac{1}{r_{i_{2}}}\right)+...+GMm\left(\frac{1}{r_{n_{1}}}-\frac{1}{r_{2}}\right) \end{array}

Wyciągając wspólny czynnik $G M m$ przed nawias, zauważymy, że wszystkie pośrednie wartości postaci $\frac{1}{r_{i_{1}}}$ i $\frac{1}{r_{i_{2}}}$ zredukują się (ponieważ $r_{\left(i-1\right)_{2}}=r_{i_{1}}$ ) i pozostaną tylko skrajne $\frac{1}{r_{1}}$ i $\frac{1}{r_{2}}$ :

W_{12}\approx GMm\left[\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{1_{2}}}\right)+\left(\frac{1}{r_{2_{1}}}-\frac{1}{r_{2_{2}}}\right)+\left(\frac{1}{r_{3_{1}}}-\frac{1}{r_{3_{2}}}\right)+...+\left(\frac{1}{r_{n_{1}}}-\frac{1}{r_{2}}\right)\right]=GMm\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right)

Ponieważ liczba pasków $n$ może być dowolnie duża, więc suma ta przybliża nam pracę $W_{12}$ z dowolnie dużą dokładnością. W ten sposób udowodniliśmy słuszność wzoru (5.35).