5.8. Energia potencjalna w polu grawitacyjnym

Wiemy już, że praca jaką trzeba wykonać, aby podnieść ciało o masie $m$ na wysokość $h$ w pobliżu powierzchni Ziemi, wynosi:

W=mgh

( 5.37 )

Zatem ciało znajdujące się na wysokości $h$ ma energię potencjalną:

E_{p}=mgh

( 5.38 )

Dla niedużych różnic wysokości nad Ziemią przyspieszenie $g$ praktycznie się nie zmienia i siła ciężkości działająca na ciało pozostaje stała na całej drodze $h$ . Dlatego wzór (5.38) na energię potencjalną ciała można stosować tylko dla małych – w porównaniu z promieniem Ziemi – wysokości $h$ . Należy zaznaczyć, że wzór ten jest prosty i bardzo użyteczny, gdyż często przy rozwiązywaniu konkretnych zadań mamy do czynienia właśnie z wysokościami niedużymi w porównaniu do rozmiarów Ziemi.

Dokładny wzór na energię potencjalną ciała znajdującego się na dowolnej wysokości w polu grawitacyjnym otrzymamy z wyrażenia (5.36) na pracę w polu grawitacyjnym:

W_{12}=G\frac{Mm}{r_{1}}-G\frac{Mm}{r_{2}}

( 5.39 )

Wzór ten wyraża pracę siły zewnętrznej przy przenoszeniu ciała, które początkowo znajdowało się w odległości $r_{1}$ od środka Ziemi i zostało przeniesione na dalszą odległość $r_{2}$ . Tyle właśnie energii potencjalnej nabyło ciało w stosunku do jego położenia początkowego. Ciało bliżej Ziemi ma mniejszą energię potencjalną, niż wtedy, gdy znajduje się dalej od niej. Praca ta jest równa różnicy energii potencjalnej $E_{p2}-E_{p1}$ (energia potencjalna w punkcie $2$ minus energia potencjalna w punkcie $1$ ). Zatem wzór (5.39) należy zapisać następująco:

W_{12}=E_{p2}-E_{p1}=-G\frac{Mm}{r_{2}}-\left(-G\frac{Mm}{r_{1}}\right)

( 5.40 )

Zakładając, że $r_{2}>r_{1}$ , możemy powiedzieć, że ciało ma mniejszą energię potencjalną w miejscu wyznaczonym przez promień $r_{1}$ w stosunku do miejsca wyznaczonego przez $r_{2}$ . Powszechnie przyjmuje się konwencję, że mierzy się energię potencjalną ciała w polu grawitacyjnym w stosunku do punktu oddalonego do nieskończoności. Oznacza to, że gdy $r_{2}=\infty$ , to $E_{p2}=0$ . Przyjmując we wzorze (5.40) $r_{1}=r$ i $r_{2}=\infty$ , otrzymamy następujący wzór na energię potencjalną ciała w polu grawitacyjnym:

E_{p}=-G\frac{Mm}{r}

( 5.41 )

Ilustracja 5.25. **Wykres zależności energii potencjalnej ciała od odległości $r$ od środka Ziemi, dla $r\geq R$**

Zwróć uwagę, że linią przerywaną zaznaczono matematyczne przedłużenie linii ciągłej. W rzeczywistości przebieg energii wewnątrz Ziemi jest inny (patrz rysunek w przykładzie – Przykład 9)

Przyjęcie określonego poziomu odniesienia za zerowy jest dowolne i zależy od konkretnego problemu fizycznego, ale gdy raz obierzemy jakiś poziom zerowy, to energię każdego ciała musimy wyznaczać względem tego jednego wspólnego poziomu. Tylko wtedy możemy porównywać energię potencjalną różnych ciał.

Innym skutkiem przyjęcia opisanego powyżej poziomu odniesienia jest pojawienie się ujemnych wartości energii potencjalnej (znak minus we wzorze (5.41)). Istotne jest, że w miarę oddalania się od Ziemi energia potencjalna ciała rośnie, co jest zgodne z koniecznością wykonywania pracy, jeśli chcemy oddalić ciało od źródła pola grawitacyjnego. Chociaż wzór (5.41) wydaje się niepodobny do wzoru (5.38), to można wykazać (pokażemy to w paragrafie 5.D2. Dodatek: Energia potencjalna w polu grawitacyjnym – temat nadobowiązkowy), że przybliżony wzór (5.38) wynika z dokładnego wzoru (5.41). Tam też pokażemy, że przyjmowanie przez energię potencjalną wartości ujemnych jest mało ważne.

Przykład 8

W jakim zakresie wysokości $h$ nad powierzchnią Ziemi możemy stosować wzór przybliżony na energię potencjalną (5.38), aby nie popełnić błędu większego niż 1%? Przyjmij promień Ziemi $R=6371\, km$ .

Rozwiązanie: Błąd bezwzględny wyraża się przez różnicę między wartością przybliżoną $\left(E_{p}\right)_{przybl}$ a wartością dokładną $\left(E_{p}\right)_{dok\mathchar'40\mkern-5mu l}$ wyznaczoną ze wzoru (5.41). Natomiast błąd względny obliczymy, dzieląc tę różnicę przez $\left(E_{p}\right)_{dok\mathchar'40\mkern-5mu l}$ :

\frac{\left(E_{p}\right)_{przybl}-\left(E_{p}\right)_{dok\mathchar'40\mkern-5mu l}}{\left(E_{p}\right)_{dok\mathchar'40\mkern-5mu l}}=\frac{\left(E_{p}\right)_{przybl}}{\left(E_{p}\right)_{dok\mathchar'40\mkern-5mu l}}-1

Powinien być zatem spełniony warunek:

\\frac{\left(E_{p}\right)_{przybl}}{\left(E_{p}\right)_{dok\mathchar'40\mkern-5mu l}}-1 \lt 0,01

( 5.42 )

Jeśli przyjmiemy, zgodnie ze wzorem (5.38), że:

\left(E_{p}\right)_{przybl}=mgh

to nie możemy zapisać wyrażenia dokładnego zgodnie ze wzorem (5.41). Ten ostatni wzór zakłada bowiem, że zero energii potencjalnej znajduje się w nieskończoności (tak w skrócie opisujemy konwencję stosowaną do wzoru (5.41)). Z kolei zgodnie ze wzorem (5.38) zero energii potencjalnej znajduje się w odległości $r=R$ od środka Ziemi, czyli na wysokości $h=0$ nad jej powierzchnią. Jeżeli chcemy porównywać dwie energie potencjalne obliczone ze wzoru „dokładnego” i „przybliżonego”, to musimy jeden z nich zapisać w taki sposób, by przewidywał zero energii potencjalnej w tym samym punkcie, co drugi. Tak więc wzór (5.41) nieco przekształcimy:

\left(E_{p}\right)_{dok\mathchar'40\mkern-5mu l}=-G\frac{Mm}{r}+G\frac{Mm}{R}

Łatwo zauważyć, że tak przedstawiona zależność $\left(E_{p}\right)_{dok\mathchar'40\mkern-5mu l}$ przyjmuje wartość zero, gdy $r=R$ . We wzorze tym przedstawimy jeszcze $r$ jako $R+h$ i po wykonaniu prostych przekształceń wstawimy do warunku (5.42):

\frac{mg h}{\frac{GMm h}{R\left(R+h\right)}}-1\lt0,01

Po uproszczeniu i uwzględnieniu, że $g=\frac{GM}{r^{2}}$ otrzymujemy:

h/R \lt0,01\,\,\, czyli \,\,\,h\lt0,01\,R

Widzimy więc, że aż do wysokości $h=0,01R=0,01\cdot6\,371\, km\approx64\, km$ przybliżony wzór (5.38) wyraża energię potencjalną z błędem nie większym niż 1%.

Pojęcie energii potencjalnej jest pojęciem ogólnym, które stosuje się do wielu przypadków, nie tylko do pola grawitacyjnego. Stosuje się je w opisie zjawisk związanych z występowaniem sił zachowawczych. Przypomnijmy sobie (rozdział 3.2. Energia potencjalna), co to jest siła zachowawcza. Przykładem siły zachowawczej jest siła grawitacji. Jeżeli podniesiemy ciało na pewną wysokość, to praca wykonana przez siłę równą sile ciężkości, lecz przeciwnie skierowaną, nie ginie, ale odnajdujemy ją w energii potencjalnej, którą znów możemy wykorzystać do wykonania pracy. Mówimy, że praca wykonana przeciwko sile ciężkości została „zachowana”. W poprzednim podrozdziale stwierdziliśmy, że praca przeciwko siłom grawitacyjnym nie zależy od drogi, ale od współrzędnych początku i końca toru. Ta właśnie cecha siły została wykorzystana do definicji siły zachowawczej. Wynika z tego, że jeżeli praca jakiejś siły nie zależy od drogi, ale tylko od położenia punktów początkowego i końcowego toru, to siła ta jest siłą zachowawczą.

Potencjał pola grawitacyjnego

Pole grawitacyjne opisywaliśmy dotychczas za pomocą natężenia pola. Natężenie informuje nas o tym, jak silne jest pole, to znaczy, jak dużą siłą działa na ciało próbne o jednostkowej masie. Natężenie jest wektorem. Obecnie mamy możliwość opisania pola za pomocą wielkości skalarnej, jaką jest energia potencjalna. Zdefiniowanie potencjału pozwala na uproszczenie wielu rachunków, a w nauce o elektryczności umożliwia zrozumienie wielu zjawisk, co będzie jednym z tematów następnych rozdziałów.

Energia potencjalna ciała w polu grawitacyjnym jest zależna zarówno od masy $M$ źródła pola, jak i od miejsca w przestrzeni wyznaczonego przez odległość $r$ , oraz od masy $m$ ciała próbnego znajdującego się w polu. Zawiera zatem wielkości charakteryzujące zarówno pole, jak i ciało próbne przypadkowo znajdujące się w polu. Aby otrzymać wielkość, która określałaby samo pole, trzeba tak zmienić wzór, aby zawierał tylko wielkości charakteryzujące pole. Jeżeli podzielimy energię potencjalną przez masę $m$ ciała próbnego, to tak powstała wielkość nie będzie zawierać przypadkowej masy próbnej i będzie charakteryzować pole w dowolnym miejscu. Wielkość ta nazywa się potencjałem pola grawitacyjnego. Oznaczamy go symbolem $V$ . Otrzymujemy zatem wzór:

V=\frac{E_{p}}{m}

( 5.43 )

Wartość liczbowa potencjału jest równa wartości liczbowej energii potencjalnej ciała próbnego o jednostkowej masie

m=1 kg

znajdującego się w danym punkcie pola. Zgodnie z definicją potencjału – wzorem (5.43) – jego jednostką jest

1\, J/kg

Po podstawieniu do wzoru (5.43) wyrażenia (5.41) na energię potencjalną $E_{p}$ , otrzymamy następujący wzór na potencjał pola grawitacyjnego wytworzonego przez źródło punktowe (lub kuliste):

V=-G\frac{M}{r}

( 5.44 )

Przyglądając się wzorowi (5.44), zauważamy, że potencjał zależy odwrotnie proporcjonalnie od $r$ (tzn. od odległości od środka masy kulistej będącej źródłem pola, na przykład od środka Ziemi). Krzywa obrazująca tę zależność jest hiperbolą (patrz il. ). Taka zależność potencjału dotyczy tylko punktów położonych na zewnątrz kulistego ciała wytwarzającego pole. Wewnątrz kuli obowiązuje inna zależność potencjału od odległości od środka. Zagadnienie to rozważymy jako przykład (patrz Przykład 9).

Ilustracja 5.26. **Potencjał grawitacyjny**

Wykres potencjału grawitacyjnego $V\left(r\right)$ w funkcji odległości od środka kuli (dla $r>R$ ) przedstawia hiperbolę. Zwróć uwagę, że linią przerywaną zaznaczono matematyczne przedłużenie linii ciągłej. W rzeczywistości przebieg potencjału wewnątrz Ziemi jest inny (patrz rysunek w Przykład 9)

Zgodnie ze wzorem (5.44) potencjał przybiera taką samą wartość dla wszystkich punktów jednakowo odległych (o $r$ ) od środka. Miejscem geometrycznym tych punktów jest powierzchnia kuli o promieniu $r$ . Jest to powierzchnia jednakowego potencjału. Powierzchnie, na których potencjał pola ma taką samą wartość, nazywamy powierzchniami ekwipotencjalnymi. Widzimy zatem, że pole grawitacyjne (i nie tylko pole grawitacyjne, ale i inne pola, np. pole elektrostatyczne) możemy graficznie przedstawiać nie tylko za pomocą linii sił, ale również za pomocą powierzchni ekwipotencjalnych. W przypadku pola grawitacyjnego, którego źródłem jest ciało kuliste, linie sił rozchodzą się promieniście, a powierzchnie ekwipotencjalne są koncentrycznymi powierzchniami kulistymi.

Zauważmy jeszcze, że wzór (5.39) na pracę przesunięcia ciała w polu grawitacyjnym można wyrazić za pomocą różnicy potencjałów. Mamy bowiem:

W_{12}=G\frac{Mm}{r_{1}}-G\frac{Mm}{r_{2}}=m\left[\left(-G\frac{M}{r_{2}}\right)-\left(-G\frac{M}{r_{1}}\right)\right]=m\left(V_{2}-V_{1}\right)

Tak więc praca przesunięcia $W_{12}$ ciała między dwoma punktami w polu grawitacyjnym jest równa iloczynowi masy ciała i różnicy potencjałów między tymi punktami:

W_{12}=m\left(V_{2}-V_{1}\right)

( 5.45 )

Praca ta jest jednocześnie równa różnicy energii potencjalnej ciała.

Przykład 9

Jakim wzorem wyraża się potencjał pola grawitacyjnego wewnątrz jednorodnej kuli o promieniu $R$ ?

Rozwiązanie: Najpierw wyprowadzimy wzór na pracę przesunięcia masy próbnej $m$ wewnątrz kuli od jej środka do punktu odległego o $r$ . Na tej drodze siła grawitacji zmienia liniowo swoją wartość (wzór (5.13)):

F=\frac{4}{3}\pi G\rho mr

W punkcie środkowym kuli (dla $r=0$ ) siła ta jest równa zeru, zatem średnia siła na drodze $r$ wynosi:

F_{\acute{s}r}=\frac{F}{2}=\frac{2}{3}\pi G\rho mr

Praca siły zewnętrznej równej sile grawitacji na tej drodze wyniesie:

W_{0-r}=F_{\acute{s}r}r=\frac{F}{2}r=\frac{2}{3}\pi G\rho mr^{2}

Tyle wzrośnie energia potencjalna ciała próbnego (w stosunku do energii potencjalnej w środku kuli):

W_{0-r}=\Delta E_{p}=E_{pr}-E_{p0}=\frac{2}{3}\pi G\rho m r^{2}

Praca przesunięcia $W_{0-r}$ ciała między dwoma punktami w polu grawitacyjnym jest równa iloczynowi masy ciała i różnicy potencjałów między tymi punktami (patrz wzór (5.45)), więc:

W_{0-r}=m\Delta V=m\left(V_{r}-V_{0}\right)=\frac{2}{3}\pi G\rho m r^{2}

Stąd, po przekształceniu, otrzymujemy wzór na potencjał pola grawitacyjnego wewnątrz kuli:

V_{r}=V_{0}+\frac{2}{3}\pi G\rho r^{2}

( 5.46 )

Jeżeli podstawimy tu wzór na masę kuli,

M=\frac{4}{3}\pi\rho R^{3}

to otrzymamy:

V_{r}=V_{0}+\frac{1}{2}G\frac{M}{R^{3}} r^{2}

Widzimy, że zależność $V_{r}$ od $r$ jest funkcją kwadratową.

Ile wynosi potencjał $V_{0}$ w punkcie środkowym kuli? W celu odpowiedzi na to pytanie zauważmy, że gdy $r=R$ , to potencjał:

V_{R}=V_{0}+\frac{1}{2}G\frac{M}{R}

( 5.47 )

jest równy potencjałowi na powierzchni kuli, który zgodnie ze wzorem (5.44) wynosi $V=-GM/R$ . Po wstawieniu tego wyrażenie do przekształconego wzoru (5.47), otrzymamy:

-G\frac{M}{R}=V_{0}+\frac{1}{2}G\frac{M}{R}\rightarrow V_{0}=-\frac{3}{2}G\frac{M}{R}

Po podstawieniu otrzymanego wyrażenia na $V_{0}$ do wzoru (5.46) otrzymujemy następujący wzór na potencjał pola grawitacyjnego wewnątrz kuli:

V_{r}=\frac{GM}{2R}\left(3-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right)

( 5.48 )

Teraz możemy wykonać pełny wykres potencjału w zależności od odległości od środka kuli w całej przestrzeni, zarówno wewnątrz, jak i na zewnątrz kuli – il. 5.27.

Ilustracja 5.27. **Wykres potencjału w zależności od odległości od środka kuli, wewnątrz i na zewnątrz kuli**

Pytania i problemy

Wyjaśnij, dlaczego wzór na energię potencjalną $E_{p}=mgh$ uznaje się za wzór przybliżony. Podaj dokładny wzór na energię potencjalną w polu grawitacyjnym Ziemi.
Co to jest potencjał pola grawitacyjnego? Podaj definicję tej wielkości.
Jaka krzywa obrazuje potencjał pola na zewnątrz kuli ziemskiej – wykres w układzie współrzędnych $\left(r,V\right)$ ? Narysuj tę krzywą.
Wyjaśnij związek między pracą a potencjałem pola grawitacyjnego.
Z powierzchni jednorodnej planety w kształcie kuli o promieniu $R$ i masie $M$ wystrzelono pionowo w górę rakietę z prędkością $v_{0}$ . W jakiej odległości $r_{k}$ rakieta się zatrzyma?
Podaj interpretację wzoru końcowy z pytania 5., z punktu widzenia wartości $v_{0}$ . Czy uzyskany wynik można stosować w całej dopuszczalnej dziedzinie prędkości początkowych?