6.3. Równanie Clapeyrona

Przedstawimy teraz ważne równanie, jedno z podstawowych praw termodynamiki, które opisuje zachowanie się gazu – równanie Clapeyrona. Jednak najpierw przypomnimy (z lekcji chemii) dwa terminy: mol i liczba Avogadra.

Mol i liczba Avogadra

W celu odważania jednakowej liczby atomów określonego pierwiastka chemicznego (lub cząsteczek związku chemicznego) wprowadzono pojęcie tzw. liczby Avogadra $N_{A}$ . Jest to, w dość dużym przybliżeniu, liczba atomów wodoru zawarta w 1 g tego pierwiastka. Jest to olbrzymia liczba, bo wiadomo, że masa jednego atomu wodoru to tylko $1,67\cdot10^{\text{–}24}\, g$ . Zatem liczba ta wynosi $1\, g/1,67\cdot10^{\text{–}24}\, g\approx 6\cdot10^{23}$ . Taką wartość w przybliżeniu ma liczba Avogadra $N_{A}$ . Dokładniej:

Liczba Avogadra jest to liczba drobin zawartych w jednym molu jakiejkolwiek substancji:

N_{A}=(6,02214\pm0,00028)\cdot10^{23}\, mol^{-1}=6,02214\cdot10^{26}\, kmol^{-1}

Liczba Avogadra

Dlaczego przyjęto tak dziwną, trudną do zapamiętania liczbę: $6,02214\cdot10^{23}$ jako jednostkę liczebności substancji? Dlaczego nie przyjęto jakiejś okrągłej liczby, np. $10^{20}$ ?

W przybliżeniu liczba Avogadra jest równa liczbie atomów w jednym gramie najlżejszego pierwiastka wodoru. Dokładnie tyle atomów znajduje się w 12 gramach 12 razy cięższych atomów izotopu węgla $^{12}C$ .

Widzimy więc, że wybór liczby Avogadra wynika ze względów praktycznych, gdyż łatwiej jest odmierzać tak dużą liczbę atomów czy cząsteczek, mierząc ich łączną masę, niż licząc je, co by było bardzo trudne.

Zauważmy, że jednostką liczby Avogadra jest $mol^{-1}$ , co oznacza, że ta liczba drobin (atomów, czy cząsteczek) mieści się w jednym molu dowolnej substancji. Łatwiej zrozumieć tę jednostkę, gdy pomyśli się o niej jako o „sztuk (atomów czy cząsteczek) na mol”.

Mol jest jednostką podstawową liczności substancji. Przez liczność substancji należy rozumieć porcję substancji zawierającą ustaloną liczbę drobin, z których składa się ta substancja.

Jednostka liczności substancji – 1 mol, jest to taka porcja danej substancji, która zawiera tyle samo drobin, ile atomów zawartych jest w masie 0,012 kg izotopu węgla $^{12}C$ .

Oprócz mola stosuje się jednostki pochodne, w szczególności kilomol (kmol):

1\, kmol=10^{3}\, mol

Masa jednego mola substancji nazywa się masą molową tej substancji. Liczbowo jest równa masie cząsteczkowej (drobinowej). Masę cząsteczkową można wyrazić wzorem:

\mu=m_{0}N_{A}

( 6.6 )

gdzie $m_{0}$ – masa cząsteczki (ogólnie – masa pojedynczego elementu strukturalnego, np. atomu, danej substancji).

Przykładowo:

wodór $H_{2}$ – masa molowa = 2 g/mol (pojedynczy element strukturalny: cząsteczka dwuatomowa),
hel $He$ – masa molowa = 4 g/mol (pojedynczy element strukturalny: atom),
węgiel $^{12}C$ – masa molowa = 12 g/mol (pojedynczy element strukturalny: atom).

Wynika z tego, że w porcji 12 g węgla $^{12}C$ mieści się tyle samo atomów węgla, ile atomów helu znajduje się w 4 g helu, ale też tyle samo atomów węgla, co cząsteczek $H_{2}$ w 2 g wodoru.

Liczbę moli $n$ określonej porcji substancji o masie $m$ można wyrazić następująco:

n=\frac{N}{N_{A}}

( 6.7 )

Ponieważ $\mu=m_{0}N_{A}$ oraz $m=m_{0}N$ (gdzie $m$ – masa substancji, a $N$ – liczba cząsteczek), więc $n$ wyraża się również jako:

n=\frac{m}{\mu}

( 6.8 )

Teraz, dzięki znajomości tych wzorów, możemy bliżej opisać równanie stanu gazu doskonałego – tzw. równanie Clapeyrona.

Równanie Clapeyrona

pV=nRT

( 6.9 )

Równanie to wiąże ze sobą ciśnienie $p$ i objętość $V$ z temperaturą $T$ gazu, gdzie: $n$ – liczba moli, $R$ – uniwersalna stała gazowa:

R=(8,31430\pm0,00012)\, J/(K\cdot mol)=8,3143\cdot10^{3}\, J/(K\cdot kmol)

Równanie to nazywa się równaniem stanu gazu doskonałego. Stosuje się ono do większości gazów i zgadza się dobrze z doświadczeniem dla warunków niezbyt odbiegających od warunków normalnych (ciśnienie w granicach do kilku barów, temperatura od minus kilkudziesięciu do plus kilkuset stopni Celsjusza). Równanie Clapeyrona jest szczególnie użyteczne w różnych zadaniach praktycznych, gdy gaz zmienia swoją objętość, ciśnienie lub temperaturę. Pozwala ono obliczać te wielkości fizyczne w różnych przemianach gazowych.

Równanie Clapeyrona

pV=nRT

gdzie:

$p$ – ciśnienie gazu,

$V$ – objętość,

n

– liczba moli gazu w objętości,

$T$ – temperatura (w Kelvinach),

$R$ – stała gazowa,

R=8,3144\cdot10^{3}\, J/mol

Przykład 1

Jak wyznaczyć punkt zerowy na skali Kelvina?

Rozwiązanie: Ponieważ jednostki temperatury w skali Celsjusza i Kelvina są sobie równe, więc i różnica temperatury między punktem wrzenia wody a punktem topnienia lodu w obu skalach jest jednakowa i wynosi 100 jednostek. W związku z tym:

T_{w}-T_{t}=100\, K

( 6.10 )

Z drugiej strony, korzystając z termometru gazowego o stałej objętości $V_{0}$ , wyznaczono doświadczalnie, że dla tych punktów (wrzenia wody i topnienia lodu) stosunek ciśnień gazu doskonałego wynosi:

\frac{p_{w}}{p_{t}}=1,3661

Z równania (6.9) mamy:

p_{w}V_{0}=nRT_{w}

p_{t}V_{0}=nRT_{t}

Po podzieleniu stronami tych równań otrzymamy:

\frac{p_{w}}{p_{t}}=\frac{T_{w}}{T_{t}}

więc:

\frac{T_{w}}{T_{t}}=1,3661

( 6.11 )

Rozwiązując układ równań (6.10) i (6.11), otrzymamy:

T_{t}=273,15\, K

T_{w}=373,15\, K

czyli temperatura topnienia lodu w skali Kelwina wynosi $T_{t}=273,15\, K$ , zaś temperatura wrzenia wody $T_{w}=373,15\, K$ . Ten pierwszy wynik oznacza, że punkt zerowy skali Kelvina odpowiada temperaturze $t=-273,15{}^{\circ}C$ w skali Celsjusza.

Przykład 2

Otaczające nas powietrze dobrze spełnia warunki gazu doskonałego. Jaką objętość zajmuje 1 mol powietrza w warunkach normalnych, tzn. przy $p=1\, atm=101\,325\, Pa$ oraz $t=0^{\circ}C$ (czyli $T\approx273\, K$ )?

Rozwiązanie: Zgodnie ze wzorem (6.9) dla $n=1$ mamy:

V=\frac{RT}{p}=0,0224\, m^{2}=22,4\, dm^{3}

Jest to fakt dobrze znany z lekcji chemii – nie tylko powietrze, ale wiele gazów ma tę właściwość, że jeden mol gazu zajmuje w warunkach normalnych objętość $22,4\, dm^{3}$ .

Pytania i problemy

Wyjaśnij, w jakim celu utworzono pojęcie tzw. liczby Avogadra. Podaj jej definicję.
Wytłumacz, w jakim celu definiuje się jednostkę „mol”. Wykaż związek tej jednostki z liczbą Avogadra.
Przedstaw równanie Clapeyrona i podaj znaczenie zastosowanych symboli.
Określ, co trzeba znać, aby móc wyznaczyć punkt zerowy na skali Kelvina.