7.2. Pierwsza zasada termodynamiki w odniesieniu do izoprocesów gazu doskonałego – część pierwsza
Przed rozpatrzeniem konkretnych izoprocesów zapiszemy jeszcze pierwszą zasadę termodynamiki w postaci szczególnie dogodnej do rozważenia przemian gazowych. W tym celu do wyrażenia ogólnego pierwszej zasady termodynamiki (7.7) podstawmy wzór (7.6) na pracę wykonaną przez gaz przy małej zmianie objętości oraz wzór (7.5) na przekaz ciepła przy małej zmianie temperatury gazu , (pamiętając o zasadzie stosowania znaku ciepła i pracy), a w efekcie otrzymamy:
Przemiana izochoryczna
W procesie izochorycznym przyrost objętości jest oczywiście równy zeru ( ), czyli zgodnie ze wzorem (7.6) , tzn. gaz nie wykonuje pracy. Zatem relacja (7.8), wyrażająca pierwszą zasadę termodynamiki, dla procesu izochorycznego przybiera postać:
gdzie oznacza ciepło właściwe przy stałej objętości.
Wzór (7.9) wyraża zmianę energii wewnętrznej pod wpływem przyrostu temperatury gazu o w procesie izochorycznym. Ale przyrost energii wewnętrznej gazu doskonałego nie zależy od procesu, tylko od temperatury stanu początkowego i końcowego. Zatem związek (7.9) będzie słuszny dla dowolnego procesu, w którym temperatura rośnie o . Uwzględniając wzór (7.9), pierwszą zasadę termodynamiki dla gazów zapiszemy w postaci:
Powyższa postać ma charakter ogólny i jest stosowana dla dowolnej przemiany, w której ciepło właściwe gazu wynosi . Jest to postać równoważna wyrażeniu (7.7) i wzorowi (7.8), w której przyrost energii wewnętrznej wyrażono bezpośrednio za pomocą zmiany temperatury .
Przemiana izobaryczna
W procesie izobarycznym ciśnienie jest stałe, (il. 7.7).
Gaz podczas podgrzewania rozpręża się i wykonuje pracę. Jednocześnie zwiększa się energia wewnętrzna gazu, ponieważ rośnie jego temperatura. Ciepło dostarczone w tym procesie wyraża się za pomocą wzoru:
gdzie oznacza ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu.
Równanie Mayera
Wiemy, że ciepło dostarczone w procesie izobarycznym wyraża się za pomocą wzoru (7.11). Zgodnie z pierwszą zasadą termodynamiki (relacja (7.10)) możemy napisać:
lub
Wyraz z prawej strony tego równania można przedstawić w innej postaci. Jeżeli gaz zwiększa swoją objętość od do przy stałym ciśnieniu, to z równania Clapeyrona (6.9) otrzymamy i . Po odjęciu stronami tych dwóch równań otrzymamy:
gdzie , . Po podstawieniu tego wyniku do wzoru (7.12) otrzymamy:
Liczba moli jest równa stosunkowi masy gazu do masy jednego mola gazu, czyli do masy molowej, , więc równanie (7.14) uprości się do postaci:
lub
ale zgodnie ze wzorami (7.3) i (7.4)
oznacza ciepło molowe, zatem:
Powyższy związek jest znany jako równanie Mayera. Widzimy, że dla każdego gazu różnica ciepła molowego przy stałym ciśnieniu i ciepła molowego przy stałej objętości jest równa uniwersalnej stałej gazowej. Wynika stąd, że zawsze jest większe od , tzn. że dla jednakowego ogrzania gazu (o jednakową ilość kelwinów) trzeba zużyć więcej ciepła w procesie izobarycznym niż w procesie izochorycznym. Jest to intuicyjnie zrozumiałe, ponieważ przy podgrzaniu gazu przy stałym ciśnieniu część dostarczonej energii zostaje zużyta na podniesienie energii wewnętrznej gazu, a część na pracę rozprężania gazu; w procesie izochorycznym praca nie jest wykonywana i całe dostarczone ciepło powoduje tylko wzrost energii wewnętrznej.
Stosunek do jest charakterystyczny dla określonego gazu. Oznaczamy go grecką literą (kappa) i nazywamy współczynnikiem Poissona lub współczynnikiem adiabaty:
Pytania i problemy
- Narysuj wykres procesu izochorycznego jako zależność od . W jaki sposób zaznaczysz na wykresie, że został on sporządzony dla rosnącej temperatury gazu?
- W pewnym procesie temperatura gazu wzrosła o , co oznacza, że zmieniła się energia wewnętrzna gazu. Podaj związek między przyrostem energii wewnętrznej i przyrostem temperatury gazu.
- Ustal, czy w procesie izochorycznym gaz wykonuje pracę. Czy zachodzi wymiana ciepła z otoczeniem?
- Narysuj wykres procesu izobarycznego jako zależność od . W jaki sposób zaznaczysz na wykresie, że został on sporządzony dla rosnącej temperatury gazu?
- Wyjaśnij, czy w procesie izobarycznym gaz wykonuje pracę i napisz odpowiedni wzór. Czy jest wymieniane ciepło z otoczeniem?
- Pokaż, że między ciepłem molowym przy stałym ciśnieniu a ciepłem molowym przy stałej objętości zachodzi związek opisany równaniem Mayera.
- Ile wynosi ciepło molowe przy stałym ciśnieniu gazu – argonu? Wiemy, że ciepło molowe przy stałej objętości argonu wynosi , gdzie – stała gazowa, .