7.3. Pierwsza zasada termodynamiki w odniesieniu do izoprocesów gazu doskonałego – część druga

Przemiana izotermiczna

W procesie izotermicznym temperatura gazu jest stała, $T=const$ . Proces izotermiczny można zrealizować tylko wtedy, gdy zostanie zapewniony dobry kontakt gazu ze zbiornikiem ciepła. Podczas rozprężania gazu w celu zapewnienia stałej temperatury musi być stale dostarczane ciepło, kosztem którego zostaje wykonana praca bez zmiany energii wewnętrznej gazu.

Na wykresie (il. 7.8) proces taki zobrazowano jako fragment krzywej (hiperboli) od stanu początkowego oznaczonego jako $1$ do stanu końcowego oznaczonego jako $3$ . W przypadku sprężania izotermicznego praca jest wykonana nad gazem siłami zewnętrznymi i do utrzymania stałej temperatury gaz musi oddać ciepło. Na wykresie proces ten zobrazowany jest fragmentem hiperboli od stanu początkowego $1$ do stanu końcowego $2$ .

Stałość energii wewnętrznej w procesie izotermicznym wynika z relacji (7.9), $\Delta U=mc_{V}\Delta T$ . Gdy $T=const$ , wtedy oczywiście $\Delta T=0$ , co pociąga za sobą $\Delta U=0$ , więc $U=const$ . Wówczas pierwsza zasada termodynamiki (7.7) przyjmuje postać:

Q=-W

( 7.19 )

Zatem ciepło w procesie izotermicznym zostaje zamienione na pracę. Temperatura gazu może pozostać stała tylko wtedy, gdy energia wewnętrzna nie będzie się zmieniać, a to jest możliwe tylko pod warunkiem, że całe dostarczone ciepło zamieni się na pracę wykonaną przez gaz lub gdy gaz odda tyle samo ciepła, ile pracy nad gazem wykonają siły zewnętrzne. W procesie izotermicznym, mimo że gaz pobiera skończoną ilość ciepła, jego temperatura nie ulega zmianie. Zatem $\Delta T=0$ , co oznacza, że ciepło właściwe w procesie izotermicznym jest nieskończenie duże, gdyż dla $\Delta T$ bliskiego zeru mianownik we wzorze $c=\frac{1}{m}\frac{Q}{\Delta T}$ (7.3), definiującym ciepło właściwe, dąży do zera.

Przemiana adiabatyczna

Proces adiabatyczny zachodzi wtedy, gdy nie ma wymiany ciepła z otoczeniem, czyli $Q=0$ . Taka przemiana może zachodzić tylko wtedy, gdy układ jest bardzo dobrze izolowany termicznie od otoczenia. W przypadku, gdy układ nie jest dobrze izolowany, ale przemiana zachodzi szybko, to również w przybliżeniu możemy uważać ją za adiabatyczną, gdyż nie zdąży wystąpić wymiana ciepła z otoczeniem. Pierwsza zasada termodynamiki (7.7) dla tego procesu przyjmuje postać:

\Delta U=W

( 7.20 )

To znaczy, że jeżeli gaz wykonuje pracę, to energia wewnętrzna gazu musi maleć (wtedy zgodnie z konwencją, praca jest ujemna) – praca jest wykonywana kosztem energii wewnętrznej. I na odwrót, gdy nad gazem zostaje wykonana praca (wtedy zgodnie z konwencją, praca jest dodatnia), to energia wewnętrzna gazu musi wzrosnąć (wtedy $\Delta U>0$ ). Energia wewnętrzna gazu doskonałego jest określona jednoznacznie przez temperaturę, więc przy wykonywaniu pracy przez gaz, czyli przy rozprężaniu adiabatycznym gazu, jego temperatura maleje, natomiast przy sprężaniu adiabatycznym gazu jego temperatura rośnie.

Na pewno zauważyłeś, pompując ręczną pompką rower, że pompka wyraźnie się nagrzewa. Podczas sprężania powietrza praca wykonana przez ciebie powoduje wzrost energii wewnętrznej powietrza w pompce. Energia ta nie zdąża ujść na zewnątrz jako ciepło.

Łatwo można zauważyć (patrz przykład 2), że podczas sprężania adiabatycznego, na skutek wzrostu temperatury, ciśnienie gazu musi wzrastać szybciej niż w procesie izotermicznym. Podczas rozprężania adiabatycznego – na odwrót – temperatura maleje i gaz obniża swoje ciśnienie bardziej niż w przemianie izotermicznej. Dlatego na wykresie zależności $p$ od $V$ krzywa dla procesu adiabatycznego (adiabata) jest bardziej stromo nachylona do osi odciętych, niż krzywa dla procesu izotermicznego – izoterma (il. 7.9).

Ilustracja 7.9. **Przebieg izotermy i adiabaty**

Przykład 2

Załóżmy, że w dwóch identycznych cylindrach z tłokami znajdują się jednakowe ilości gazu o parametrach $p_{0}$ , $V_{0}$ i $T_{0}$ . Niech w obu cylindrach gaz doznaje rozprężania do objętości końcowej $V_{1}$ – w jednym, za pomocą procesu izotermicznego, a w drugim – adiabatycznego. W pierwszym cylindrze podczas procesu izotermicznego temperatura jest oczywiście stała i po rozprężeniu wynosi $T_{0}$ . W drugim cylindrze podczas procesu adiabatycznego temperatura maleje i po rozprężeniu wynosi $T_{1}$ , przy czym $T_{1} {mniejsze} T_{0}$ . Jak zmniejszy się ciśnienie w drugim cylindrze w stosunku do pierwszego?

Rozwiązanie: W procesie izotermicznym (zgodnie z równaniem (7.13) ciśnienie wyniesie:

p_{1\, izot}=\frac{p_{0}V_{0}}{V_{1}}

( 7.21 )

Przy rozprężaniu adiabatycznym ciśnienie zmaleje bardziej, gdyż maleje również temperatura. Ciśnienie to obliczymy z równania Clapeyrona – wzór (6.9), więc:

p_{lad}V_{1}/T_{1}=p_{0}V_{0}/T_{0}

a stąd:

p_{lad}=\frac{p_{0}V_{0}}{V_{1}}\frac{T_{1}}{T_{0}}

Korzystając ze wzoru (7.21), otrzymamy:

p_{lad}=p_{1izot}\frac{T_{1}}{T_{0}}

( 7.22 )

Widzimy, że ciśnienie gazu po rozprężeniu adiabatycznym musi być niższe niż po rozprężeniu izotermicznym, gdyż $T_{1} {mniejsze} T_{0}$ . Zatem przy rozprężaniu gazu wykres adiabaty (il. 7.9) musi przebiegać poniżej wykresu izotermy.

Wzór identyczny z (7.22) obowiązuje w przypadku sprężania gazu. Wtedy temperatura końcowa w procesie adiabatycznym jest wyższa niż w izotermicznym, $T_{1}>T_{0}$ . Zatem przy sprężaniu gazu wykres adiabaty (il. 7.9) musi przebiegać powyżej wykresu izotermy.

Związek między ciśnieniem a objętością gazu doskonałego w procesie adiabatycznym nazywa się równaniem adiabaty lub równaniem Poissona. Równania tego nie da się wyprowadzić elementarnym sposobem, dlatego podajemy je tutaj bez wyprowadzenia:

pV^{\kappa}=const

( 7.23 )

Zależność ta jest formalnie podobna do zależności $pV=const$ , obowiązującej w procesie izotermicznym. W przypadku procesu adiabatycznego objętość $V$ jest podniesiona do potęgi $\kappa$ , której wartość jest zawsze większa od jedności, ponieważ ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu jest zawsze większe od ciepła właściwego przy stałej objętości (patrz wzór (7.18)). Z tego faktu wynika również, że na wykresie zależności $p$ od $V$ krzywa dla procesu adiabatycznego (adiabata) jest bardziej stromo nachylona do osi odciętych niż krzywa dla procesu izotermicznego – izoterma (il. 7.9).

W procesie adiabatycznym wszystkie trzy parametry $p$ , $V$ i $T$ ulegają zmianie. Zatem oprócz zależności $p$ od $V$ występują jeszcze dwie zależności: $p$ od $T$ i $V$ od $T$ . W celu wyprowadzenia zależności $p$ od $T$ skorzystamy z równania stanu gazu doskonałego:

V=Nk\frac{T}{p}

i wstawimy je do równania (7.23). Otrzymamy:

p\left(\frac{T}{p}\right)^{\kappa}\left(Nk\right)^{\kappa}=const

lub po przekształceniach:

\frac{p}{T^{\frac{\kappa}{\kappa-1}}}=const

( 7.24 )

gdzie stałą $\left(Nk\right)^{\kappa}$ wprowadziliśmy do stałej $const$ . W podobny sposób można wyprowadzić następną zależność:

{V^{\kappa-1}{T}=const

( 7.25 )

W wielu zagadnieniach termodynamicznych konieczna jest znajomość wzoru na pracę w procesie adiabatycznym (Uwaga: Wyprowadzenie tego wzoru znajduje się w rozdziale 7.D1. Dodatek: Energia wewnętrzna gazu – zasada ekwipartycji energii (temat nadobowiązkowy)):

\Delta W=\frac{p_{1}V_{1}-p_{2}V_{2}}{\kappa-1}

( 7.26 )

Przykład 3

Jednocylindrowy silnik benzynowy motocykla ma stopień sprężania 6 do 1, tzn. stosunek objętości wtryśniętej mieszanki do objętości mieszanki sprężonej w cylindrze pod tłokiem wynosi $\frac{V_{2}}{V_{1}}=6$ . Maksymalna pojemność skokowa silnika wynosi $V_{2}=200\, cm^{3}$ . Oblicz:

o ile oziębi się mieszanka wybuchowa po wykonaniu suwu pracy, przy założeniu, że rozprężanie gazu zachodzi tak szybko, iż gaz nie zdąży utracić ciepła i proces możemy traktować jako adiabatyczny;
jaką pracę wykona silnik podczas jednego suwu roboczego (adiabatycznego), jeżeli wiadomo, że ciśnienie wybuchającej mieszanki wynosi $p_{1}=2\cdot10^{6}Pa$ (20 atm);
jaką moc średnio dostarcza silnik, gdy pracuje z częstością 2 400 obrotów na minutę.

Rozwiązanie:

Ad 1. Zgodnie z równaniem (7.26) możemy napisać:

\frac{V_{1}^{1-\kappa}}{T_{1}}=\frac{V_{2}^{1-\kappa}}{T_{2}}

lub

\frac{T_{2}}{T_{1}}=\frac{V_{2}^{1-\kappa}}{V_{1}^{1-\kappa}}

Możemy przyjąć, że $\kappa=1,4$ , ponieważ w mieszance paliwowej mamy do czynienia głównie z powietrzem, które jest gazem dwuatomowym (patrz rozdział 7.D1. Dodatek: Energia wewnętrzna gazu – zasada ekwipartycji energii (temat nadobowiązkowy) – tabela na il. 7.27), zatem:

\frac{T_{2}}{T_{1}}=\left(\frac{1}{6}\right)^{0,4}=0,488

Widzimy, że temperatura spalin przy wydechu zmniejszy się nieco więcej niż dwa razy.

Ad 2. Do obliczenia pracy wykorzystamy wzór (7.26), który przedstawimy w postaci:

\Delta W=\frac{p_{1}V_{1}}{\kappa-1}\left(1-\frac{p_{2}V_{2}}{p_{1}V_{1}}\right)

Przekształcimy teraz drugi wyraz w nawiasie:

\frac{p_{2}V_{2}}{p_{1}V_{1}}=\frac{p_{2}}{p_{1}}\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{-1}=\frac{p_{2}V_{2}^{\kappa}V_{1}^{\kappa}}{p_{1}V_{2}^{\kappa}V_{1}^{\kappa}}\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{-1}=\frac{p_{2}V_{2}^{\kappa}V_{1}^{\kappa}}{p_{1}V_{1}^{\kappa}V_{2}^{\kappa}}\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{-1}

Po wykorzystaniu wzoru (7.23) wyrażenie to redukuje się do $\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{\kappa-1}$ i wzór na pracę w procesie adiabatycznym przyjmuje postać:

\Delta W=\frac{p_{1}V_{1}}{\kappa-1}\left[1-\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{\kappa-1}\right]

( 7.27 )

Po podstawieniu danych otrzymujemy:

\Delta W=\frac{2\cdot10^{6}\cdot33,3\cdot10^{-6}}{0,4}\left[1-\left(\frac{1}{6}\right)^{0,4}\right]\, J=85,2\, J

Silnik podczas jednego suwu roboczego wykona pracę równą 85,2 J.

Ad 3. Częstość 2 400 obrotów na minutę jest równa 40 obrotów na sekundę. Zatem średnia moc silnika (bez uwzględnienia mocy traconej) wynosi:

P=85,2\cdot40\,\frac{J}{s}\approx3,4\cdot10^{3}\, W\approx4,6\, KM

Graficzne przedstawienie pracy w procesach termodynamicznych

Zgodnie ze wzorem (7.6) praca zależy od ciśnienia i przyrostu objętości gazu. W przypadku, gdy podczas rozprężania gazu ciśnienie jest stałe, to na wykresie zależności ciśnienia od objętości praca $\Delta W=p\Delta V$ jest przedstawiona za pomocą pola powierzchni prostokąta o podstawie $\Delta V$ i wysokości $p$ (il. 7.10).

Ilustracja 7.10. **Rozprężanie gazu przy stałym ciśnieniu**

Podczas rozprężania gazu przy stałym ciśnieniu wykonywana jest praca $\Delta W=p\Delta V$ , równa liczbowo polu powierzchni prostokąta

W dowolnym przypadku, gdy $p\neq const$ , całkowitą pracę można podzielić na małe elementy składowe. Każdy element składowy pracy $\Delta W$ można przedstawić za pomocą pola powierzchni wąskiego paska o podstawie $\Delta V$ i wysokości $p$ (il. 7.11a). Jeżeli gaz rozpręży się od objętości $V_{1}$ do objętości końcowej $V_{2}$ , to całkowitą pracę $W$ wykonaną przez gaz można wyrazić za pomocą pola powierzchni pod krzywą zależności ciśnienia od objętości. Widzimy na il. 7.11b, że suma pól wąskich pasków przedstawiających elementarne prace $\Delta W$ jest równa całemu polu pod krzywą $p\left(V\right)$ z tym większą dokładnością, im węższe paski były brane pod uwagę. Ponieważ możemy brać pod uwagę dowolnie małe elementarne prace, więc i dowolnie wąskie paski, zatem suma pól tych pasków przybliża nam całą powierzchnię z dowolnie dużą dokładnością.

Ilustracja 7.11. **Podział pracy na elementy – wąskie paski**

a) element pracy $\Delta W$ jest przedstawiony za pomocą pola powierzchni wąskiego paska, b) pola wąskich pasków przedstawiających elementarne prace $\Delta W$ pokrywają całe pole pod krzywą $p\left(V\right)$

Ilustracja 7.12. **Praca związana z przejściem ze stanu $1$ do $2$ zależy od „drogi”**

Pola powierzchni ograniczone krzywymi $I$ i $I I$ są niejednakowe, mimo że obie linie zaczynają się i kończą wspólnymi punktami $1$ i $2$

Na il. 7.12 przedstawiono pracę wykonaną przy przejściu ze stanu $1$ do stanu $2$ podczas różnych procesów. Widać na nim, że przejście ze stanu $1$ do stanu $2$ wzdłuż krzywej $I$ jest związane z wykonaniem określonej pracy w procesie $I$ (zaznaczonej przez zakreskowane pole powierzchni ograniczone krzywą $I$ ). Pole powierzchni ograniczone linią $I I$ (przechodzącą przez stan pośredni $3$ ) jest dużo mniejsze, co oznacza mniejszą pracę związaną z procesem $I I$ . Mimo że w obydwu przypadkach stan początkowy i końcowy gazu jest taki sam, praca wyraźnie różni się w obu procesach. Widzimy zatem, że praca (podobnie i ciepło) zależy od procesu przekazywania energii i, co za tym idzie, nie jest jednoznaczną funkcją różnicy stanu początkowego i końcowego (innymi słowy: pracy nie da się wyrazić tylko za pomocą różnicy parametrów obu stanów).

Pytania i problemy

Opisz związek między ciśnieniem a objętością w procesie izotermicznym gazu doskonałego, przy założeniu, że masa gazu nie ulega zmianie (tzw. prawo Boyle’a-Mariotte’a).
W układzie współrzędnych $\left(V,\, p\right)$ przedstaw izotermę. Jak w matematyce nazywa się taka krzywa?
Zastosuj pierwszą zasadę termodynamiki do procesu izotermicznego.
W przemianie izotermicznej masa gazu się zmniejszyła. Wyjaśnij, czy w takim przypadku pozostaje w mocy prawo Boyle’a-Mariotte’a.
W każdym z procesów: izochorycznym, izobarycznym i izotermicznym zmieniają się tylko dwa parametry. Podaj, te parametry.
W jakich warunkach zachodzi proces adiabatyczny? Zinterpretuj związek między ciśnieniem a objętością gazu, opisany równaniem Poissona.
Zastosuj pierwszą zasadę termodynamiki do procesu adiabatycznego.
W układzie współrzędnych $\left(V,\, p\right)$ narysuj krzywą obrazującą proces adiabatyczny na tle izotermy.
Wyjaśnij, dlaczego na wykresie w układzie współrzędnych $\left(V,\, p\right)$ adiabata przebiega bardziej stromo od izotermy.
Wyprowadź równanie opisujące zależność objętości od temperatury w procesie adiabatycznym. Posłuż się równaniem Poissona i równaniem Clapeyrona.
W jaki sposób graficznie przedstawia się pracę na wykresie zależności $p$ od $V$ ?