6.4. Izoprocesy gazu doskonałego

Jeżeli mamy dane dwa parametry określające stan gazu o określonej liczności, to trzeci zawsze możemy obliczyć; np. gdy dana jest objętość i temperatura gazu, trzeci parametr – ciśnienie – możemy obliczyć z równania (6.9). Zatem dowolny stan gazu doskonałego wyznaczają tylko dwa niezależne parametry termodynamiczne. Dzięki temu stan gazu możemy przedstawić jako punkt na płaszczyźnie. Przejścia między dwoma stanami – początkowym i końcowym – na wykresie można przedstawić za pomocą krzywych.

W celu wygodnego przedstawienia procesów gazowych przekształcimy równanie Clapeyrona do postaci:

\frac{pV}{T}=nR

( 6.12 )

W przypadku gdy gaz jest zamknięty w pojemniku, to liczba moli $n$ nie zmienia się podczas zmiany parametrów $p$ , $V$ , $T$ i prawa strona równania (6.12) ma stałą wartość (const). Zatem:

\frac{pV}{T}=\frac{p_{0}V_{0}}{T_{0}}=const

( 6.13 )

gdzie: $p_{0}$ , $V_{0}$ i $T_{0}$ to parametry początkowe.

Przemiana izochoryczna

Proces izochoryczny, inaczej zwany przemianą izochoryczną, występuje wtedy, gdy objętość gazu pozostaje stała, $V=V_{0}=const$ . Wówczas:

\frac{pV}{T}=\frac{pV_{0}}{T}

\frac{pV_{0}}{T}=\frac{p_{0}V_{0}}{T_{0}}

więc:

\frac{p}{T}=\frac{p_{0}}{T_{0}}=const

( 6.14 )

Czyli stosunek ciśnienia do temperatury gazu jest stały:

\frac{p}{T}=const

( 6.15 )

Równanie to nosi nazwę prawa Charles'a.

Równanie (6.15) możemy zapisać w postaci:

p=cT

gdzie $c$ oznacza stały (const) współczynnik. Wraz ze wzrostem temperatury rośnie proporcjonalnie ciśnienie gazu. Jak widzimy zależność ciśnienia od temperatury jest liniowa i celuje w punkt (0 K; 0 Pa). Wykres tej zależności jest przedstawiony na il. 6.9.

Ilustracja 6.9. **W procesie izochorycznym ciśnienie gazu zmienia się liniowo wraz z temperaturą**

W bardzo niskiej temperaturze proces nie zachodzi wg linii prostej, gdyż gaz przestaje zachowywać się jak gaz doskonały. Objawia się to np. w procesie kondensacji, dochodzą jeszcze efekty kwantowe. Dlatego też w tym miejscu mamy linię przerywaną, która obrazuje jedynie przedłużenie izochory w kierunku punktu (0,0). Natomiast w bardzo wysokiej temperaturze gaz także przestaje zachowywać się jak gaz doskonały, m.in. dochodzi do stanu plazmy

Proces izochoryczny występuje wtedy, gdy objętość gazu pozostaje stała $V=const$ . Obowiązuje prawo Charles'a:

\frac{p}{T}=const

Przykład 3

Do jakiej temperatury $t$ należy ogrzać gaz znajdujący się w butelce, aby korek o powierzchni przekroju $S=3\, cm^{2}$ wyskoczył z niej? Siła tarcia utrzymująca korek w butelce wynosi $F=12\, N$ . Na początku temperatura gazu w butelce wynosiła $t_{0}=-3^{\circ}C$ , a ciśnienie było równe ciśnieniu zewnętrznemu powietrza $p_{0}=1\,000\, hPa$ .

Rozwiązanie: Korek wyskoczy z butelki przy różnicy ciśnień:

\Delta p=\frac{F}{S}

Zatem ciśnienie gazu w butelce musi być równe:

p=p_{0}+\Delta p=p_{0}+\frac{F}{S}

Takie ciśnienie osiągnie gaz przy temperaturze $T$ wynikającej z równania (6.15), więc:

\frac{p}{T}=\frac{p_{0}}{T_{0}}

Zatem:

T=\frac{T_{0}}{p_{0}}p=\frac{T_{0}}{p_{0}}\left(p_{0}+\frac{F}{S}\right)=T_{0}\frac{T_{0}}{p_{0}}\frac{F}{S}

Wyrażając temperaturę w stopniach Celsjusza, po zastosowaniu wzorów: $T=273+t$ i $T_{0}=273+t_{0}$ otrzymamy:

t=t_{0}+\frac{273+t_{0}}{p_{0}}\frac{F}{S}

Po podstawieniu danych otrzymamy:

t=t_{0}+\frac{273+t_{0}}{p_{0}}\frac{F}{S}=-3^{\circ}C+\frac{270^{\circ}C}{10^{5}\, Pa}\frac{12\, N}{3\cdot10^{-4}\, m^{2}}=105^{\circ}C

Widzimy, że gaz znajdujący się w butelce, należy ogrzać do temperatury $t=105^{\circ}C$ , aby korek wyskoczył.

Przemiana izobaryczna

Proces izobaryczny inaczej zwany przemianą izobaryczną występuje wtedy, gdy ciśnienie jest stałe, $p=const$ . Wówczas $p=p_{0}=const$ i z równania stanu gazu doskonałego (6.13) mamy:

\frac{pV}{T}=\frac{p_{0}V}{T}

\frac{pV}{T}=\frac{p_{0}V_{0}}{T_{0}}

więc stosunek objętości do temperatury gazu jest stały:

\frac{V}{T}=const

( 6.16 )

Jest to tzw. prawo Gay-Lussaca.

Ilustracja 6.11. **W procesie izobarycznym objętość gazu zmienia się liniowo wraz z temperaturą**

Podobnie, jak w przypadku procesu izochorycznego, linie przerywane obrazują obszar temperatury, w którym zachodzą istotne odstępstwa od modelu gazu doskonałego

Proces izobaryczny występuje wtedy, gdy ciśnienie gazu jest stałe $p=const$ . Obowiązuje prawo Gay-Lussaca:

\frac{V}{T}=const

Przemiana izotermiczna

Proces izotermiczny inaczej zwany przemianą izotermiczną występuje wtedy, gdy temperatura gazu jest stała. $T=T_{0}=const$ . Wtedy równanie (6.13) przyjmie postać $\frac{pV}{T_{0}}=\frac{p_{0}V_{0}}{T_{0}}$ , lub $pV=p_{0}V_{0}$ , więc:

pV=const

( 6.17 )

Jest to równanie znane jako prawo Boyle’a-Mariotte’a. Na wykresie w układzie $\left(V,\, p\right)$ proces izotermiczny wyobrażony jest w postaci hiperboli (il. 6.13).

Ilustracja 6.13. **Wykres zależności ciśnienia od objętości w procesie izotermicznym**

Proces izotermiczny występuje wtedy, gdy temperatura gazu jest stała, $T=const$ . Obowiązuje prawo Boyle’a-Mariotte’a:

pV=const

Przykład 4

Ile wynosi gęstość powietrza w oponie samochodu napompowanego w temperaturze $t_{0}=0^{\circ}C$ , do ciśnienia przewyższającego ciśnienie atmosferyczne $p=2\cdot10^{5}\, Pa$ o $p_{0}=10^{5}\, Pa$ ? Gęstość powietrza w warunkach normalnych wynosi $\rho_{0}=1,293\, kg/m^{3}$ .

Rozwiązanie: Gęstość powietrza w oponie wynosi $\rho=\frac{m}{V}$ gdzie $m$ jest masą, a $V$ objętością powietrza w oponie. Powietrze to na zewnątrz opony pod ciśnieniem atmosferycznym $p_{0}$ zajmowałoby objętość $V_{0}$ i miałoby gęstość $\rho_{0}=\frac{m}{V_{0}}$ .

Po podzieleniu stronami tych dwóch równań otrzymamy:

\frac{\rho}{\rho_{0}}=\frac{V}{V_{0}}

( 6.18 )

Wiemy, że przy stałej temperaturze $pV=p_{0}V_{0}$ , czyli:

\frac{V_{0}}{V}=\frac{p}{p_{0}}

Korzystając z równania (6.18), mamy:

\frac{\rho}{\rho_{0}}=\frac{p}{p_{0}}

Stąd otrzymujemy:

\rho=\frac{p}{p_{0}}\rho_{0}

Ciśnienie $p$ w oponie wynosi $p=p_{0}+\Delta p=3\cdot10^{5}\, Pa$ . Po podstawieniu tych wartości oraz pozostałych danych do powyższego wzoru otrzymujemy:

\rho=\frac{p}{p_{0}}\rho_{0}=\frac{3\cdot10^{5}\, Pa}{1\cdot10^{5}\, Pa}\cdot1,293\, kg/m^{3}

Gęstość powietrza w oponie wynosi $3,69\, kg/m^{3}$ .

Do przemian gazów powrócimy w rozdziale „Energia wewnętrzna, ciepło i praca”, w którym omówimy energetyczne aspekty tych przemian.

Pytania i problemy

Korzystając z równania Clapeyrona, wyznacz temperaturę $T$ gazu, gdy dana jest objętość $V$ i ciśnienie $p$ gazu.
Przedstaw związek między parametrami gazu w procesie izochorycznym opisany przez tzw. prawo Charles'a. Czy i jak związek ten wynika z równania Clapeyrona?
Na podstawie równania Clapeyrona wyraź „const” z równania (6.15) za pomocą wielkości $V$ , $n$ oraz $R$ . Następnie we współrzędnych $\left(T,\, p\right)$ narysuj przebieg dwóch przemian izochorycznych tego samego gazu, przeprowadzonych w objętościach $V_{1}$ i $V_{2}$ , takich, że $V_{1} {mniejsze} V_{2}$ .
Narysuj wykres procesu izochorycznego we współrzędnych $\left(p,\, V\right)$ .
Sformułuj związek między parametrami gazu w procesie izobarycznym opisany przez tzw. prawo Gay-Lussaca. Czy i jak wynika ono z równania Clapeyrona?
Na podstawie równania Clapeyrona wyraź „const” z równania (6.16) za pomocą wielkości $p$ , $n$ oraz $R$ . Następnie we współrzędnych $\left(T,\, V\right)$ narysuj przebieg dwóch przemian izobarycznych tego samego gazu, przeprowadzonych przy ciśnieniach $p_{1}$ i $p_{2}$ , takich, że $p_{1} {mniejsze} p_{2}$ .
Narysuj wykres zależności $p$ od $V$ w procesie izobarycznym.
Opisz związek między ciśnieniem a objętością w procesie izotermicznym gazu doskonałego, przy założeniu, że jego masa nie ulega zmianie (tzw. prawo Boyle’a-Mariotte’a).
Na podstawie równania Clapeyrona wyraź „const” z równania (6.17) za pomocą wielkości $T$ , $n$ oraz $R$ . Następnie we współrzędnych $\left(V,\, p\right)$ narysuj przebieg dwóch przemian izotermicznych tego samego gazu, przeprowadzonych w temperaturach $T_{1}$ i $T_{2}$ , takich, że $T_{1} {mniejsze} T_{2}$ .
Przedstaw izotermę w postaci krzywej w układzie współrzędnych $\left(p,\, V\right)$ . Jak w matematyce nazywa się taka krzywa?
W przemianie przy stałej temperaturze masa gazu zmniejszyła się. Wyjaśnij, czy w takim przypadku pozostaje w mocy prawo Boyle’a-Mariotte’a.
W każdym z procesów: izochorycznym, izobarycznym i izotermicznym zmieniają się tylko dwa parametry. Podaj te parametry dla każdego procesu.